2.3 证据理论的理论基础

证据理论可处理由不知道所引起的不确定性，能够很好地对不确定性信息进行表征。它采用信任函数而不是概率作为度量，通过对一些事件的概率加以约束，以建立信任函数而不必说明精确的、难以获得的概率。

2.3.1 证据理论的基本概念

设U表示待识别对象X 可能取值的一个论域集合，且U的所有元素间互不相容，则称U为X 的识别框架。

定义2.3 （基本概率赋值）U为一识别框架，则函数m：2^U→[0，1]（其中2^U为U的所有子集组成的集合）在满足下列条件

时，称m（ A）为A的基本概率赋值。

定义 2.4 （信任函数）设U为一识别框架， m：2^U→[0，1]是U上的基本概率赋值，定义函数BEL：2^U→[0，1]为

则称函数BEL是U上的信任函数（belief function），BEL（ A）为A的信任度。

定义2.5 （信任函数的核）若识别框架U的子集A满足m（ A）＞0，则称A为信任函数BEL的焦元（focal element），所有焦元的并集称为信任函数BEL的核（core）。

对于A的不知道信息可用A的信任度来度量。

定义2.6 （似真度函数）设U是一识别框架，定义PL：2^U→[0，1]为

则称PL为U上的似真度函数（plausibility function），PL（ A）为A的似真度。

PL（ A）表示不否定A的信任度，是所有与A相交的集合的基本概率赋值之和，且有BEL（ A）≤PL（ A）。

定义2.7 （信任度区间） [BEL（ A），PL（ A）]称为焦元A的信任度区间。

PL（ A）-BEL（ A）表示对A不知道的信息，描述了A的不确定性，称为焦元A的不确定度（uncertainty）。PL（ A）对应于 Dempster 定义的上概率度量，BEL（ A）对应于Dempster定义的下概率度量。

2.3.2 证据理论的组合规则

设 BEL₁，BEL₂，…，BEL_n是同一识别框架U 上的 n 个信任函数， m₁ ， m₂ ，…， m_n分别是其对应的基本概率赋值。

定义2.8 （Dempster组合规则）设

则对于任意的C⊂U，m₁，m₂，…，m_n的联合基本概率赋值定义为

如果K=1，认为m₁， m₂，…， m_n矛盾，没有联合基本概率赋值。K的大小反映了证据冲突程度。以式（2.6）中m（C）表示的多条证据联合基本概率赋值即Dempster组合规则。

2.3.3 证据的折扣

若对某个证据只有一个1-α的确信度，其中α∈[0，1]，则可把α作为该证据的折扣率。

定理 2.1 设 BEL：2^U→[0，1] 是一个信任函数，0＜α＜1，又设BEL^α：2^U→[0，1]，且

则BEL^α是一个信任函数。

定理2.2 设BEL^α为定理2.1所定义的信任函数，则BEL^α所对应的基本概率赋值m^α：2^U→[0，1]满足：

2.3.4 证据理论的决策规则

用证据理论组合证据后，如何进行决策是与应用密切相关的问题。设U是识别框架， m是基于 Dempster 组合规则得到的组合后的基本概率赋值，则可采用下述决策方法。

设存在A₁， A₂⊂U，满足

若有

其中ε₁，ε₂为预先设定门限，则A₁即判决结果。