2.3 动量理论
风力机动量理论的基本出发点是计算流经风轮旋转域的气流流速变化，推出由于空气气流的动量变化产生的叶片气动力。在数学形式上，可表示为气流流速变化乘以质量随时间的变化率。叶片气动力变化也可由叶片上平均气压力差异求得，因此伯努利方程被应用于下文阐述的流管理论中。
2.3.1 单流管模型
为计算叶片呈曲线分布的Darrieus风力机的气动性能，加拿大航空航天研究所 （National Research Council-Institute for Aerospace Research，NRC-IAR）工程师R.J.Templin于1974年提出了基于动量定理的单盘面单流管模型。该模型将风力机的风轮简化为被一个流管包围的盘面，单流管模型示意如图2-3所示，假定盘面上叶片的诱导速度均匀分布，将所有叶片经过流管上游区域和下游区域的作用力合力作为该流管的外力，应用动量理论建立联系这一外力和流管内动量变化的方程式，从而求解诱导速度，然后推导风轮的气动性能。
图2-3 单流管模型示意图
单流管模型中引入了风轮形状参数，如叶片实度、径高比，风轮气动特性中的翼型升阻比被考虑其中，但是忽略了风剪切效应。
根据Glauert理论，通过风轮制动盘的速度vD是来流风速v和尾流速度vw 的算术平均值，即
风力机风轮的运行阻力FD可表示为
基于动压和制动盘的面积，其阻力系数
为
将式 （2-20）代入，可得
基于环境动压，对于风轮整机结构的阻力系数，可表述为
对于Φ型Darrieus风力机，其叶片型线通常为Troposkien曲线，采用径高比 （截面旋转直径与高度比值），其型线又呈现抛物线分布，可表示为
式 （2-24）可采用无因次形式表述，即
其中
式中 r——局部截面旋转半径；
z——距离风轮赤道平面的高度。
具有三叶片的Φ型Darrieus风力机如图2-4所示。对式 （2-24）进行微分，可得到弯曲叶片局部倾角为
图2-4 具有三叶片的Φ型Darrieus风力机
在单流管理论中，采用动量叶素理论进行风轮气动力计算时，需要确定叶素的局部气动攻角和局部相对动压。对叶素合成入射气流速度进行分解，可得上述两个参数的表达式为
假设风轮在迎风面的方位角ψ范围为0°～180°，顺风面范围为180°～360°。在定常气流作用下，瞬时叶素的升力系数CL 和阻力系数CD是关于攻角α的函数，法向力系数CN 和切向力系数CT 的计算公式为
弦长为c的叶素受到的法向微元力dN和前行推力dT可表述为
叶素的阻力可表示为
阻力的平均值可通过对风轮旋转一周 （0≤ψ≤2π）和在高度范围 （-H≤z≤H）二次积分获得。具有N个叶片、弦长为c的Φ型Darrieus风力机总阻力为
对于Φ型Darrieus风力机，其旋转制动盘为对称分布，可沿风轮赤道面进行分割，取上半部分积分求解，结果乘以2倍。并且抛物线叶片旋转形成的制动盘有效面积约为S
，因此，制动盘的阻力系数可表述为
风轮转矩仅由作用在叶素上的切向力分量产生，对于长度为dz/cosδ的单个叶素，其转矩可表示为
风轮的扭矩随着叶片的方位角和高度变化而改变，对前述两个变量 （ψ，z）进行积分并乘以叶片个数可得风轮总扭矩为
进而风力机的输出功率可表示为
2.3.2 多流管模型
多流管理论的空气动力学模型同样基于Glauert的叶素理论，它利用流动方向的动量方程为基本原理。假设有若干个流管穿过风轮，其中每个流管中流体速度不尽相同，它们对叶片产生的作用力也各不相同。图2-5为多流管模型示意图，图中选取多流管模型中一个流管穿过风轮，流管的横截面积为As=ΔhrΔψsinψ，其中 Δh为流管垂直高度， rΔψsinψ为流管的宽度。假定流管的横截面积在穿过风轮时是恒定不变的，只有在流进风轮和流出风轮时才发生变化。设定流管中的绝对风速为vs（z，ψ），它是风轮制动盘内高度和方位角的函数。
多流管动量模型相对于单流管模型计算结果更加精确，在一系列穿过风轮的流管中，每个流管的计算又是以单流管理论为基础，虽然多流管理论对于风轮整个流场的描述并不是很精确，但是它能够较好地描述叶片上的受力分布，不仅如此，还能够方便地引入风剪切效应的影响。
图2-5 多流管模型示意图
2.3.2.1 基本假设
（1）流体为正压、不可压缩、无旋的定常流动。
（2）各流管之间的流动互不干涉，彼此互相独立。
（3）流动是稳定的。
（4）流体的流动方向与风轮主轴的方向垂直。
2.3.2.2 单流管动量理论的引入
由于风轮的扰动，假设流管中产生的平均阻力为
，流管中绝对风速为vs，流管的截面面积为As，根据式 （2-20），可表示为
计算作用在叶片单元上的力，假设风轮有N个叶片，在旋转过程中，叶片单元通过流管时受到的气动力为Fx，注意到每个叶片每旋转一周时在流管中所花费的时间份额是Δψ/π，因此，在流管中的平均气动力可表示为
将式 （2-40）和式 （2-41）联立，可得
为了简便描述叶片的作用力，式 （2-42）左侧可以简化为
，记
2.3.2.3 叶片受力分析
从式 （2-42）中可以看出，单叶片上的气动力可通过求解流管中的风速与上游风速的比求出。该气动力沿着流管中气流反方向，可分解为沿着风轮转动方向的切向作用力FT 和垂直于该转动方向的法向作用力FN，叶素作用力示意如图2-6所示，以及顺着翼展方向的力。当叶片单元对整个风轮产生扭矩时，顺翼展方向的力对其作用很小，并且对Fx的增量也小，因此可以将其省略。其中切向作用力的方向与弦长的方向是相同的，因此可通过求解FN 和FT 求出气动力Fx。
图2-6 叶素作用力示意图
F N 和FT 两个力的分布以及其合力的向量关系可在图2-6中体现出来，其中合力Fx的方向与流管中气流方向一致，从而可得
由空气动力学基本理论，FN 和FT 可表示成如下形式
式中
——翼旋的平面面积；
v R——气流流向翼面的相对速度。
将式 （2-45）中的两个方向风力用无量纲形式表示为
式中 vT——风轮赤道位置处最大叶尖速度。
关于升力、阻力系数CL、CD的公式为
结合式 （2-30）、式 （2-31），可得到叶片叶素微元的气动力合力无量纲表达式为
2.3.2.4 相对速度向量
攻角和翼型横截面上的相对速度关系可以通过图2-7叶素相对速度向量的关系得到，进而可以得到攻角的表达式为
叶素翼型截面上的相对速度vR可表示为
2.3.2.5 迭代法求解动量方程
首先定义诱导因子a为
将式 （2-51）与式 （2-42）、式 （2-43）联立，得到气流流动方向上的动量方程为
以式 （2-52）为基础方程，通过迭代方法求解流管中的动量方程。
为诱导因子a的函数，迭代求解该函数可近似求解a，其中求解过程遵循以下程序，通过这种方法可以求出对于某一个流管中的近似气流流动情况。
（1）假设诱导因子a为零，即vs=v。
图2-7 叶素相对速度向量
（2）通过式 （2-49）求出攻角α。
（3）通过叶片选用翼型的升、阻力系数CL、CD 求出系数CN、CT，其中翼型的升、阻力系数可通过试验或数据库获取。
（4）通过式 （2-50）求出相对速度vR。
（5）通过式 （2-48）求出
。
（6）利用所获得的α、
值代入式 （2-52）右侧，即可获得新的诱导因子a。
然后利用新的诱导因子a值，重复上述步骤，设定精度值ε，当aN+1-aN＜ε时，停止迭代，这样就可获得各流管气动力结果。
2.3.2.6 风轮的功率系数
通过上述步骤，一旦求解出动量方程，当叶素穿过流管时所产生的扭矩便可以获得，即
为了求解给定方位角ψ时的叶片扭矩，必须将每个叶片所划分的叶素单元求解获得的TS进行求和或积分。假设每个叶片被划分了Ns个叶素，每个叶素的长度可以通过前述表达式Δh/sinδ来确定，同时也得出作用在这个叶素中心的扭矩值，这样便可以求得此时整根叶片上的扭矩，即
为了求得整个风轮上的N个叶片作用在转轴上的扭矩，可以将整体扭矩TB数值乘以N，将叶片叶素旋转一周划分为Nt份，结合在方位角ψ上求得的扭矩TS，定义Δψ=π/Nt，便可以求出作用在整个风轮上的平均扭矩
每当风轮旋转一周时，作用在风轮上的平均功率即可求出，则风轮的功率系数表示为
2.3.3 双制动盘多流管理论
1981年美国国家航空航天局 （National Aeronautics and Space Administration，NASA）工程师ParaschivoiuⅠ为评估Darrieus风力机气动性能，提出了双制动盘多流管理论。该理论将风轮旋转域均分为上风向和下风向串联的制动盘，旋转域内的诱导速度可在上、下风向两个区域内分别求出，双制动盘多流管模型如图2-8所示。穿过旋转平面的流场被分为若干流管，在流管边界上的压力变化对附近流管中的动量平衡微不足道，因此每个流管中的气动计算可视为相对独立的。
图2-8 双制动盘多流管模型
每个流管中上下风向的流体速度不一致，并且在高度方向上有着风速廓线分布规律，在双制动盘多流管模型中，忽略气流中的湍流和阵风效应，只考虑风速的平均效应，因此风速分布具有二维效应，垂直轴风力机风场效果如图2-9所示。风速廓线分布规律表示为
式中 vi——竖直方向局部自由来流风速；
v e——赤道来流风速；
Z i——竖直方向参考高度；
Z EQ——风轮赤道圆位置高度；
α w——风速廓线因子。
图2-9 垂直轴风力机风场效果
流管中的气流速度受到上下制动盘的作用，假设制动盘1处于上风向，在该制动盘内叶片旋转角度范围为 （-π/2≤ψ≤π/2）；制动盘2处于下风向，在该制动盘内叶片旋转角度范围为 （π/2≤ψ≤3π/2）。由于受到制动盘作用，流体速度沿流管逐渐减小，即下风向区域的气流诱导速度低于平衡速度区域的流速，而平衡速度区域流速低于上风向气流诱导速度，即
式中 vup，vdw——上风向、下风向气流诱导风速；
v e——平衡速度区域内诱导风速；
v w——尾流速度。
根据诱导关系，存在如下关系
式中 μ——上风向区域诱导因子；
μ′——下风向区域诱导因子。
根据风轮方位角定义，上风向的叶片叶素的合成入流速度W和局部攻角α可定义为
其中
而在下风向，叶素的合成入流速度W′和攻角α′由对应的局部坐标系中参数X′=rω/vdw和vdw代替。对于上风向区域，风轮的法向推力FN 和切向力FT 可表达为
式中 H——风轮的高度；
S——风轮沿风向投影面积。
在下风向，其推力和切向力系数由对应坐标系参数表示。
在双制动盘多流管模型中，未考虑叶片的动态失速，因此风轮在上、下风向区域内其平均转矩系数可表示为
而风轮旋转一周内，功率输出系数是上下游转矩系数的加权，可表示为
式中 λEQ——风轮赤道半径位置的叶尖速比。