2.4 涡流模型
在阐述涡流理论模型之前，需要将流体中漩涡进行描述。当流体绕任一轴线 （直线或曲线）旋转，都会存在漩涡，这种涡的结构是涡切向速度大小与到切点中心的距离成反比。即涡中心的速度可以是无穷大，当然这种情况并不存在。涡核是由于刚性物体一起旋转的流体组成的。涡结构与积分路径如图2-10所示。
图2-10 涡结构与积分路径
涡核的半径与流体流动情况有关，涡只能在黏性流体中存在，尽管涡对运动消耗能量，但是涡可以和流体运动一样自由运动。对于无黏流体，如果有涡存在，那么它不需要任何能量就可以保持其运动状态，并且在涡核处有无限大的切向速度。所以涡核在刚性体的边界处必须终止或者形成闭环。对于理想的二维流动，涡核被假设为在第三方向上是无限长度。
在涡理论中，最重要的量就是环量Γ，环量的定义为速度沿一平面的边界S积分，即
式中 v——沿着包围漩涡的闭合曲线S的速度向量。
相对于动量和质量守恒定理，涡理论基于开尔文定理，认为环量Γ对时间的导数为零，即
根据库塔 儒可夫斯基 （Kutta-Joukowski）条件，流体在叶片上每一段产生的升力可由来流风速v、流体密度ρ和环量Γ表示为
通常叶片翼型攻角变化会产生不同的升力，这就意味着，翼型周围环量也发生变化，为对环量进行补偿，另一个环量会在翼型尾流中生成，图2-11显示了翼型和其尾流中对应于某一瞬时升力L时的两个相对应的环量Γairfoil、Γwake。环量会随着尾流向下延伸，并在一段距离后消失。
对于风力机叶片或有限长度机翼上的附着涡，它们不可能在叶片两端简单的终止，而以脱落的形式在两端延伸，理论上这个涡可以延伸至无穷远处，但是由于空气的黏性作用，脱落的涡会在叶片后方一段距离处消失，叶片涡尾迹结构如图2-12所示。
图2-11 环量的组成
图2-12 叶片涡尾迹结构
2.4.1 预定尾涡模型
涡方法最早被用于求解直升机空气动力学问题，但是先前的涡瞬态推进算法常存在收敛问题，之后稳定状态的涡尾迹方法被提出。该方法又被分为松弛尾迹法和预定尾迹法。
预定涡尾迹法是根据试验数据，先假定涡旋单元的位置，一旦尾迹结构预定，则可计算诱导速度沿着叶片的环量分布。直升机悬停状态的尾迹可视化试验奠定了采用预定涡尾迹法求解直升机悬停状态的气动问题基础。如图2-13所示为预定涡尾迹形状。
图2-13（a）假设二维翼型运行路径，当翼型在A点和B点之间移动时，与来流气流平行，在这一路径上，翼型不产生升力。当翼型经过拐点B时，其运行方向与平行气流垂直，会同时生成升力L和环量Γu。当运行至C点时，其运动方向在此发生变化，生成方向相反的脱落涡。图2-13（b）为运行翼型的尾涡涡系分布示意图。当涡层向下游以恒定的速度vc对流时，可得到
式中 Γu，ΓD——附着涡环量；
γ u，γD——涡层强度；
f——翼型运动的周频率。
将单流管动量方法引入，设定流管宽度非常小，即BC≪AB，对称分布的两半有限涡层AB和CD，速度在上游的突变可表示为
图2-13 预定涡尾迹形状
式中 vu——上游风速；
a u——风力机尾流中上游位置处的诱导因子。
两半无限涡层 （γu+γD），速度在下游突变可表示为
式中 vd——下游风速；
a D——风力机尾流中下游位置处的诱导因子。
在无限远处尾流中，由于两层强度为γu+γD的涡层作用，速度突变可表示为
可得到两个重要的关系式
利用动量理论可得到诱导因子a，随后可利用预定涡理论确定上、下游诱导因子。
2.4.2 自由尾迹涡模型
垂直轴风力机自由尾迹涡模型将动叶片看作是由沿其展向一系列的片段组成，单叶素涡系如图2-14所示。翼型叶素用附着涡丝或升力线代替，涡丝及升力线可充分地表达距离翼型弦长一倍以外的流场。基于 Helmholtz涡量理论，附着涡与每一尾缘尖涡的强度相同。
根据开尔文定律，展向脱落涡等于附着涡强度的变化。脱落涡系以当地流速自由对流，而涡丝能够拉伸、平移及旋转，随时间变化。所有由涡丝产生的诱导速度与未扰动风速叠加便得到流场中任意一点的流动速度。
图2-14 单叶素涡系
图2-15 涡丝上一点的诱导速度
如图2-15所示，当涡丝长度为l、强度为Γ时，由Biot-Savart定律可得其对任意点P的诱导速度vP为
式中 e——r×l方向上的单位向量。
采用翼型数据或者升力面的表示方法，可采用诱导速度确定作用于每段叶片上的升力和阻力。Kutta-Joukowski定理给出了附着涡强度ΓB 与叶素展向单位长度上升力的关系。升力也可根据翼型截面升力系数Cl表示。采用这两种升力的表示方法，可确定特定叶片片段上附着涡强度与诱导速度的关系为
式中 c——叶片弦长；
v r——翼型截面的当地相对速度。