4.1.4 矩阵的初等变换与秩、向量组与线性相关

首先了解一下什么是矩阵的初等变换。在数据分析中，涉及矩阵的相关运算时，操作人员了解矩阵的初等变换的相关概念是必不可少的。如下三种变换称为矩阵的初等变换。

（1）对换两行或两列。

（2）用一个常数，记为k，且k不为0，乘以矩阵的某一行或某一列。

（3）将矩阵的某一行或某一列乘以k倍（k不为0，但可以是1）后，加到另一行或另一列，最后将得到的新矩阵作为结果。

需要注意的是，行（row）取其英文首字母r作为标记，r_i的意思是第i行。列（column）取其英文首字母c作为标记，c_i的意思是第i列。矩阵A经过初等变换可以得到矩阵B，则称矩阵A与矩阵B相似，记作“A～B”。

等价的矩阵的性质与关系如下。

（1）A～A，一个矩阵与其本身是相似的，被称为“反身性”。

（2）若A～B，则B～A，这种性质被称为“对称性”。

（3）若A～B，B～C，则有相似关系A～C。可见，相似关系是可以传递的，这种性质被称为“传递性”。

还有一种矩阵叫“行阶梯矩阵”，是指在一个非零的矩阵中非零行均在零行的上面，且非零行的第一个非零数字前都是数字0，示例如下：

矩阵的初等变换也是矩阵的运算，相比矩阵相加和矩阵相乘而言，其要稍复杂一些。矩阵的初等变换具有如下特殊性质（设A和B是m×n矩阵）。

（1）的充要条件是存在m阶可逆矩阵P，使得PA=B。

（2）的充要条件是存在n阶可逆矩阵Q，使得AQ=B。

（3）A～B的充要条件是存在n阶可逆矩阵Q和m阶可逆矩阵P，使得PAQ=B。

这里根据第（3）条性质可以知道：对一个m×n矩阵A进行一次“初等行变换”等于在它的左边乘m阶初等矩阵；对一个m×n矩阵A进行一次“初等列变换”等于在它的右边乘n阶初等矩阵。

下面介绍矩阵的“秩”。设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式全等于0，那么D就是矩阵A的“最高阶非零子式”，r即为矩阵A的“秩”，记作R（A）。需要注意的是，若矩阵A是零矩阵，则它的秩等于0。

关于矩阵的秩有如下推论：若有可逆矩阵P和Q满足PAQ=B，则R（A）=R（B）。以下是矩阵秩的几种性质。

（1）0≤R(A_m×n)≤min{m,n}。

（2）R(A^T)=R(A)。

（3）若A～B，则R（A）=R（B）。

（4）若P、Q可逆，则R（PAQ）=R（A）。

（5）max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B)。

(6)R(A+B)≤R(A)+R(B)。

(7)R(AB)≤min{R(A),R(B)}。

n维向量写成一行，称为“行向量”，而写成一列，则称为“列向量”，也可以称为“行矩阵”和“列矩阵”。在下面的式子中，第一个是列向量，第二个是行向量：

什么是向量？在解析几何中，把既有大小又有方向的量称为“向量”。向量可以随意移动（平移）而不影响其本身，同时在引入坐标系后，则有了二维向量（位于直角坐标系的向量）和三维向量（位于空间直角坐标系的向量），以及后来推广的n维向量（位于n维空间的向量）。还有一点需要说明，总是将含有有限个向量的有序向量组与矩阵相对应。例如，矩阵A含有m个向量，每条向量记为，其中，i是指向量组的第i条向量，所以矩阵A是m行n列的矩阵，示例如下：

下面介绍“线性组合”和“线性组合系数”的概念。给定向量组A（a₁，a₂，…，a_n），对于任何一组实数k₁，k₂，…，k_n，有k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n，这个式子即为“线性组合”，“线性组合系数”是k₁，k₂，…，k_n。向量b能由向量组A（a₁，a₂，…，a_n）线性表示的充要条件是矩阵A=（a₁，a₂，…，a_n）的秩等于矩阵B=（a₁，a₂，…，a_n，b）的秩。当向量组A和向量组B相互线性表示时，则称这两个向量组等价，即

R(A)=R(B)=R(A,B)

线性相关性分为“线性相关”和“线性无关”两种，当有线性组合

k₁a₁+k₂a₂+…+k_na_n=0

时，则称向量组A“线性相关”，反之，则称向量组A“线性无关”。线性相关性可以用来判断解的个数，如4.1.3节所提到的方程组解的个数的例子：当“线性无关”时，满足式子R（A）=n，此时方程组只有零解；当“线性相关”时，满足式子R（A）＜n，此时存在非零解。判断增广矩阵的秩与原矩阵的秩R（A）的大小即可得到最后的结果。

（1），无解。

（2），有唯一解。

（3），有无穷多解。

再来介绍一下“向量空间”的概念，实际上可以简单地认为由n维向量的全体构成的集合Rⁿ即为n维向量空间。这里给出如下的标准定义：“设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法及数乘两种运算封闭（若a∈V，b∈V，则a+b∈V；若a∈V，λ∈R，则λa∈V），就称集合V为向量空间。”