4.1.5 相似矩阵

在学习相似矩阵相关知识之前，读者还要先了解向量的内积、长度、正交，以及矩阵的特征值和特征向量等概念。已知两个n维向量如下：

a、b向量的内积记为[x，y]，例如，求两个向量的内积结果是一个实数，计算方式如下：

[x,y]=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n

[x，y]有时候也写作x^Ty，因为x和y都是列矩阵，是无法相乘的，所以需要将x转置为行矩阵x^T，再与矩阵y相乘。内积具有如下性质。

（1）[x,y]=[y,x]。

（2）[λx,y]=λ[x,y]。

（3）[x+y,z]=[x,z]+[y,z]。

（4）当x=0时，[x，x]=0，当x≠0时，[x，x]＞0。

（5）[x，y]²≤[x，x][y，y]，这个关系式叫作“施瓦茨不等式”。

n维向量的长度又称n维向量的范数，记为|x|，定义式如下：

当|x|=1时，x是单位向量。若x不是单位向量，则可以通过求得x的单位向量e，这个步骤被称为“单位化”。可以通过以下式子求得向量x和向量y的方向夹角的余弦值。

由“施瓦茨不等式”可以得到如下结果：

所以是满足求得向量x和向量y的方向夹角θ的定义域的，可以直接得到如下结果：

可见，当[x，y]=0时，，此时向量x和向量y的方向夹角为90°，称为“正交”。

下面讨论矩阵的特征值和特征向量。

设矩阵A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零的列向量x有关系式

Ax=λx

或

(A-λE)x=0

则称λ是矩阵A的“特征值”，x是矩阵A的特征向量。（A-λE）x=0是一个由n个未知数和n个未知方程组成的齐次线性方程组，它有非零解的充要条件是行列式

|A-λE|=0

即

行列式|A-λE|=0构成了一个方程，该方程被称为矩阵A的特征方程，和它等价的矩阵被称为矩阵A的“特征多项式”。

设矩阵A和矩阵B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使

P^-1AP=B

则称矩阵A与矩阵B是相似矩阵，P^-1AP称作对矩阵A的“相似变换”。当矩阵A与矩阵B相似时，它们的特征多项式相同，特征值也相同。