1.3 基尔霍夫定律

在一个电路内部，各部分电压、电流之间相互影响、相互制约，成为一个统一整体。基尔霍夫定理从电路整体和全局上，揭示了电路中各部分电压、电流之间所必须遵循的规律。基尔霍夫定理包括基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）两部分内容。

为了叙述方便，在学习基尔霍夫定律之前，先以图1.3.1所示电路为例，介绍几个常用的名词和术语。

1）支路：电路中的每一个分支称为一个支路。通常一条支路上的所有元件流过的电流相同。如图1.3.1所示电路中，ab、ad、aec、bc、bd、cd都是支路，其中aec是由三个电路元件串联构成的支路，ad是由两个电路元件串联构成的支路，其余四个都是由单个电路元件构成的支路。含有电源的支路称为有源支路，不含电源的支路称为无源支路。

2）结点：指三个或三个以上支路的连接点。通常电路中一条导线连接的几个点，它们的电位相等，可看成是同一个结点，如图1.3.1中a、b、c、d都是结点。其中含有两条线路的连接点可以拉直，没有约束，可以变成一条线路，因此两条线路的连接点不叫结点。

3）路径：从某结点到另一结点之间，由不同支路和不同结点依次连成的一条通路。

4）回路：电路中任意一个由支路组成的闭合路径。如图1.3.1所示电路中，abda、bcdb、abcda、aecda、aecba等都是回路。

5）网孔：内部不包含任何支路的回路称为网孔，或者说未被其他支路分割的单孔回路称为网孔（不包含其他回路的回路）。网孔一定是回路，但回路不一定是网孔。如图1.3.1中的回路aecba、abda、bcdb都是网孔，其余的回路则不是网孔。

6）网络：通常把包含回路较多的电路称为网络。有时电路与网络两个名词经常通用。

1.3.1 基尔霍夫电流定律

由于电流具有连续性，电路中任意一个结点均不能使电荷堆积或消失，因此，在任一瞬间，流入结点的电流之和必定等于流出该结点的电流之和。图1.3.2所示为某电路中的结点a，连接在结点a的支路共有5条，在所选定的参考方向下，有

I₁+I₄=I₂+I₃+I₅

基尔霍夫电流定律^[6]：对电路中的任一结点，在任一瞬间，流出或流入该结点电流的代数和恒为零，即

通常把式（1.3.1）称为结点电流方程，简称KCL方程。在列写结点电流方程时，通常规定，流入结点电流取正号，流出结点电流取负号。也可以按相反方向规定。

KCL定律不仅适用于电路中结点，还可以推广应用于电路中的任一假设封闭面。即在任一瞬间，流出或流入电路中任一假设封闭面电流的代数和恒为零。此时，该闭合面称为广义结点。基尔霍夫电流定律体现了电流的连续性。

如图1.3.3所示为广义结点（圆圈围拢的封闭面）KCL图，根据KCL列出结点方程

三个式子相加得出

I_A+I_B+I_C=0

上式表明，通过封闭面的电流代数和确实等于零，即KCL适用于广义结点。

如图1.3.4所示为某电路中的一部分广义结点拓展图，选择闭合面如图1.3.4虚线所示，在所选定的参考方向下，有

-I₁+I₂+I₃+I₅-I₆-I₇=0

例1.3.1 如图1.3.5所示，已知I₁=3A，I₂=5A，I₃=-18A，I₅=9A，试计算电路中的电流I₄及I₆。

解：对结点a，根据KCL可得

I₁+I₂-I₃-I₄=0

则

I₄=I₁+I₂-I₃=26A

对结点b，有

I₄+I₅+I₆=0

则

I₆=-I₄-I₅=-35A

例1.3.2 如图1.3.6所示，已知I₁=5 A，I₅=9 A，I₆=3 A，I₇=-8 A，试计算电流I₈。

解：在电路中选取一个封闭面，如图1.3.6中虚线所示，根据KCL可得

I₁+I₆-I₇+I₈=0

则

I₈=-I₁-I₆+I₇=-16A

例1.3.3 如图1.3.7所示，试求电流表A的读数。

解：根据KCL适用广义结点的结论，推导出电流表A读数为0。

1.3.2 基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律（KVL）描述电路中任一回路中电压之间的约束关系。由于能量守恒，如果从回路中任意一点出发，沿回路绕行一周，则在此方向上电压升之和必定等于电压降之和。图1.3.8所示为某电路中一个回路ABCDA，各支路电压参考方向如图1.3.8所示，在选定的回路“绕行方向”下，有

u₁+u₂-u₃-u₄=0

基尔霍夫电压定律^[7]：对电路中的任一回路，在任一瞬间，沿回路绕行方向，各段电压降的代数和恒为零，即

通常把式（1.3.2）称为回路电压方程，简称KVL方程。基尔霍夫电压定律描述了一个回路中各支路电压之间的约束关系。

在列写回路电压方程时，首先要对回路选取一个回路“绕行方向”。通常规定，对参考方向与回路“绕行方向”相同的电压取正号，对参考方向与回路“绕行方向”相反的电压取负号。即电压降低为正号，升高为负号。回路“绕行方向”是任意选定的，通常在回路中以箭头绕行方向表示，如图1.3.9所示。

abcd回路以顺时针方向为绕行方向，运用KVL有

整理为∑U=∑IR，该式表明，在任一回路内，电阻上电压降的代数和等于电动势的代数和。

KVL不仅适用于电路中的具体回路，还可以推广应用于电路中的任一假想广义回路，如图1.3.10所示。即在任一瞬间，沿回路绕行方向，电路中假想广义回路中各段电压降的代数和恒为零。

对广义回路由KVL有U_S=IR_S+U_ab，由此式可求得电源的端电压，即U_ab=U_S-IR_S，用这种方法可求得一段电路的电压U_ab。

如图1.3.11所示为某电路中的一部分，路径a、f、c、b并未构成回路，选定图1.3.11中所示的回路“绕行方向”，对假想广义回路afcba列写KVL方程有-u₄+u₅-u_ab=0，则u_ab=-u₄+u₅。

由此可见，电路中a、b两点电压u_ab等于以a为出发点、以b为终点绕行方向上任一路径上各段电压代数和。其中，a、b可以是某一元件或一条支路两端，也可以是电路中任意两点。今后若要计算电路中任意两点间电压，可以直接利用这一推论。

例1.3.4 试求如图1.3.12所示电路中元件3、4、5、6两端的电压。

解：在回路cdec中，有u₅=u_cd+u_de=［-（-5）-1］V=4V。

在回路bedcb中，有u₃=u_be+u_ed+u_dc=（3+1-5）V=-1V。

在回路debad中，有u₆=u_de+u_eb+u_ba=（-1-3-4）V=-8V。

在回路abea中，有u₄=u_ab+u_be=（4+3）V=7V。

特别提示

在应用KCL分析电路时，一定要先在电路图中标出各支路电流的参考方向，并且在分析过程中参考方向不得变动，直至分析结束。

在应用KVL分析电路时，一定要先在电路图中标出各支路电压的参考方向，选取回路并标明绕行方向，且在分析过程中参考方向不得变动，直至分析结束。

例1.3.5 在如图1.3.13所示电路中，（1）求各理想电流源的端电压，并判断其是电源还是负载？（2）求电源和负载的功率，并验证功率平衡关系。

解：根据KVL得I₃=I₂-I₁=（2-1）A=1A。

电流源I₁的U₁=R₁I₃=20×1V=20V，因I₁从U₁的+端流入，所以电流源I₁为负载。

电流源I₂的U₂=R₁I₃+R₂I₂=（20×1+10×2）V=40V，因电流源I₂从U₂的+端流出，所以电流源I₂为电源。

电源功率P₂=-U₂I₂=-40×2W=-80W，发出功率。

负载功率P₁=I₁U₁+=（1×20+1²×20+2²×10）V=80 W，吸收功率，发出功率和吸收功率相等，功率平衡。

【练习与思考】

1）什么叫结点、支路和回路？什么叫网孔？

2）基尔霍夫电流定律的内容是什么？它的适用范围如何？

3）基尔霍夫电压定律的内容是什么？它的适用范围如何？

4）基尔霍夫定律能适用于非线性电路吗？