3.3　平面一般力系的合成

平面一般力系是指各力的作用线位于同一平面内但既不全汇交于一点也不全相互平行的力系，又称为平面任意力系。例如，图3.19所示的简支刚架受到荷载及支座反力的作用，这个力系就是一个平面一般力系。

又例如，图3.20所示的三角形屋架，它的厚度比其他两个方向上的尺寸小很多，如果忽略它与其他屋架之间的联系，将它单独分离出来，这种结构称为平面结构，它承受屋面传来的竖向荷载F以及两端支座反力XA、YA、RB这些力组成平面一般力系。

在工程实际中，有些结构虽然本身不是平面结构，且所受的力也不分布在同一平面内，但如果结构本身（包括支座）及其所受的荷载有一个共同的对称面，那么，作用在结构上的力系可简化为在对称面内的平面力系。

例如，图3.21（a）所示的重力坝，其坝纵向较长，横截面相同，且坝受力情况沿纵向不变，则坝的任一横截面均可视为是对称平面。因此，对其作受力分析时，通常沿纵向截取单位长度的坝段来进行受力分析，即将作用于该坝段上的空间力系简化为位于坝段中心平面内的平面一般力系，如图3.21（b）所示。

总之，工程实际中的许多问题一般都可简化为平面一般力系的问题来处理，因此，平面一般力系是工程中最常见也是最重要的力系。

3.3.1　力的平移定理

力的可传性原理表明，力可以沿其作用线滑移到刚体上的任一点，而不改变力对刚体的作用效应；但当力在刚体上平行移动到作用线以外的任一点时，力对刚体的作用效应将会改变。对此问题是不难理解的，例如，处于平衡状态的秤杆，如果把秤锤稍作平移，秤杆就会翘起来或埋下去，即秤杆的平衡状态发生改变。

为了将力等效平移，需要什么样的附加条件呢？下面就来分析这个问题。

设力F作用于刚体上的A点，要将力F等效平移到刚体上任意一点B，如图3.22（a）所示。为此，根据加减平衡力系公理，在B点加上两个等值、反向共线的平衡力F′和F″，并使它们的作用线与力F平行，且令F′＝F″＝F，如图3.22（b）所示。则由力F、F′、F″所组成的力系与原来的力F等效。由于力F″与F等值、反向、平行，它们组成一个力偶（F，F″）。于是，作用在B点的力F′和力偶（F，F″）与原力F等效；又由于F′＝F，这样就把作用于A点的力F平移到了B点，但同时附加一个力偶，如图3.22（c）所示。

由图3.22可知，附加力偶的力偶矩为式中：d为力F的作用线至B点的垂直距离。

由此可得结论：作用于刚体上某点的力可以平移到此刚体上的任一点，但须附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对平移点的力矩。这个结论称为力的平移定理。

力的平移定理表明：作用于刚体上的一个力可分解为作用在同一平面内的一个力和一个力偶，如将图3.22（a）分解为图3.22（c）所示。当然，也可以将同一平面内一个力和一个力偶合成为作用在另一点上的力，如将图3.22（c）合成为图3.22（a）和将图3.23（a）转化成图3.23（b）所示。

3.3.2　平面一般力系的合成

对平面一般力系的合成，是应用力的平移定理，将力系各力向所在平面内任一点进行平移简化，下面介绍这一合成方法。

1.平面一般力系向作用平面内任一点简化

设在某刚体上作用一平面一般力系（F1，F2，…，Fn），如图3.24（a）所示。在力系所在平面内任选一点O作为简化中心，根据力的平移定理，将力系中各力平行移动到O点。于是原力系便简化为作用于O点的平面汇交力系和相应的附加力偶系（m1，m2，…，mn），如图3.24（b）所示。其中，进一步合成结果如下：

（1）作用在简化中心的新的平面汇交力系可合成为一个合力R′，它等于的矢量和。即

矢量R′称为原力系的主矢，它等于原力系中各力的矢量和，其大小和方向可用解析法计算，通过O点作直角坐标系xOy，由合力投影定理得

于是，主矢R′的大小和方向可由式（3.12）确定：

（2）附加的平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩为

式中：MO为原力系的主矩，它等于原力系中各力对简化中心O点之矩的代数和，如图3.24（c）所示。

综上所述，可得结论：平面一般力系向作用面内任一点简化，可得一个力和一个力偶。这个力的作用线通过简化中心，称为原力系的主矢，它等于原力系中各力的矢量和；这个力偶作用于原力系的作用面内，其力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，它等于原力系中各力对简化中心的力矩的代数和。

显然，主矢R′与简化中心的位置无关，而主矩MO则一般与简化中心的位置有关。这是因为如改变简化中心的位置，则各附加力偶的力偶臂也将发生改变的缘故。因此，对于主矩必须标明它所对应的简化中心。

2.简化结果的讨论

平面一般力系向作用面内任一点简化后，一般可得到一个力和一个力偶，但这不是最后的合成结果，因此有必要根据力系的主矢和主矩这两个量可能出现的几种情况作进一步讨论。

（1）若R′＝0，MO≠0，说明原力系与一个力偶等效，原力系是一个平面力偶系。这个力偶就是原力系的合力偶，合力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。只有在这种情况下，主矩才与简化中心的位置无关，也就是说，原力系无论向哪一点简化都是一个力偶矩保持不变的力偶。

（2）若R′≠0，MO＝0，则说明原力系只与一个力等效，主矢R′就是原力系的合力，作用线通过简化中心。

（3）若R′≠0，MO≠0，如图3.25（a）所示，这说明此简化不是最后结果，根据力的平移定理的逆过程，还可进一步简化为一个作用于另一O′点的合力R。

对此，将力偶矩为MO的力偶用两个反向平行力R、R″表示，且使力的大小R＝R′＝R″，如图3.25（b）所示。因为力R′与R″相互平衡，故可取消，所以原力系最后合成为一个合力R，此力即为原力系的合力，如图3.25（c）所示。合力R的大小和方向与原力系的主矢R′相同，合力的作用线到简化中心的垂直距离为

合力R在O点的哪一侧，由R对O点的矩的转向与主矩MO的转向相一致来确定。顺着R′的方向看，当MO＞0时，合力R在主矢R′的右侧；当MO＜0时，合力R在主矢R′的左侧。

（4）若R′＝0，MO＝0，则原力系与零等效，即力系平衡。

由以上分析，还可导出平面一般力系的合力矩定理。由图3.25（c）可见，合力R对O点的力矩为

因为O点是任选的，所以式（3.15）具有普遍意义。于是得到合力矩定理：平面一般力系的合力对其作用面内任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的代数和。

平面一般力系的合力矩定理同样可应用于简化力矩的计算；也可用来求平面一般力系的合力的作用线位置。

【例3.6】　已知挡土墙受自重G＝400kN，水压力Q＝150kN，土压力P＝300kN作用，各力的方向及作用点位置如图3.26（a）所示。试将这三个力向底面中心O点简化，并求简化的最后结果。

【解】　（1）以底面中心O点为简化中心，将各力向O点平移，并取坐标系如图3.26（b）所示。

（2）计算主矢R′和主矩MO。由式（3.12）求得

因为∑X和∑Y均为负值，故R′指向第三象限且与x轴之夹角为α。

又由式（3.13）求得

计算结果为正值，表明主矩MO是逆时针转向，首次简化结果如图3.26（c）所示。

（3）求合力的作用点位置。

因为主矢R′≠0，主矩MO≠0，所以还可进一步合成为一个合力R，R的大小和方向与R′相同，它的作用线与O点的距离为

又因MO＞0，即合力R应在O点左侧，如图3.26（d）所示。