3.4 平面力系的平衡_工程力学（第二版）-QQ阅读男生玄幻网

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3.4　平面力系的平衡

3.4.1　平面力系的平衡方程及其应用

1.平面汇交力系的平衡方程及其应用

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零。现将此平衡条件用解析式表示，即为

其中（∑X）2、（∑Y）2都恒为正值，要使R＝0，则必须也只有

所以，平面汇交力系平衡的充分和必要条件可表述为：力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和均等于零。式（3.16）称为平面汇交力系的平衡方程。应用这两个相互独立的平衡方程可求解平面汇交力系中有两个未知量的平衡问题。

还须指出，利用上述平衡方程求解平面汇交力系的平衡问题时，若计算结果为正值，表示未知力假设的指向就是实际的指向；若计算结果为负值，表示未知力假设的指向与实际指向相反。

【例3.7】　重G＝20kN的物体被绞车匀速起吊，绞车的钢丝绳绕过光滑的定滑轮A，滑轮由不计重量的AB杆和AC杆支撑，如图3.27（a）所示。试求AB杆和AC杆所受的力。

【解】　（1）取滑轮连同销钉A为研究对象，画受力图。由于不计支撑杆自重，AB杆和AC杆均为二力杆，现假设两杆都受拉，重物G通过钢丝绳直接加在滑轮的一边。当重物匀速上升时，拉力T1＝G，而钢丝绳绕滑轮的另一边具有同样大小的拉力，即T1＝T2，画出受力图和选取坐标系如图3.27的（c）所示。

图3.27

（2）列平衡方程，求AB杆和AC杆所受的力。

将T2＝T1＝G代入（b）式和（a）式，联立解得

可见力RAC解得的结果为负值，表示该力的假设方向与实际方向相反，因此杆AC是受压杆。

在求解平衡问题时，恰当地选取研究对象，灵活地选取坐标轴，以最简捷、合理的途径去求解，尽量避免求解联立方程，以提高计算效率，这是解题时很值得注意的问题。

2.平面力偶系的平衡方程及其应用

平面力偶系可以合成为一个合力偶，若合力偶矩等于零，则原力偶系必定平衡，反之，若原力偶系平衡，则合力偶矩必定为零。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：平面力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零。即：

式（3.17）称为平面力偶系的平衡方程，应用该方程只能求解平面力偶系中具有一个未知量的平衡问题。

【例3.8】　如图3.28（a）所示的梁AB受一力偶作用，支承面与水平面之间的夹角a＝30°，若不计梁自重，试求A、B支座反力。

图3.28

【解】　（1）取梁AB为研究对象，画出受力图。

梁在力偶矩m和A、B两处的支座反力作用下处于平衡。因为力偶只能与力偶平衡，所以，A、B支座处的两个支座反力必定组成一个力偶。由于B支座是可动铰支座，其支座反力RB必垂直于支承面，所以，A支座的反力RA一定与RB等值、反向、平行，即RA与RB构成一个力偶。画出受力图如图3.28（b）所示。

（2）列力偶系的平衡方程，求支座反力。

求得

所求的支座反力均为正值，表明反力的实际指向与假设指向相同，如图3.28（b）所示。

3.平面一般力系的平衡方程及其应用

形式一：基本形式。平面一般力系向作用面内任一点简化后得到主矢R′和主矩MO，若主矢R′和主矩MO都为零，则力系平衡。反之，若力系平衡，则力系向作用面内任一点简化后主矢R′和主矩MO必定为零。于是得到平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢R′和力系对任一点的主矩MO都为零。即

由此可得平面一般力系的平衡方程为

这样，平面一般力系平衡的必要和充分条件又可叙述为：力系中所有各力在其作用面内正交坐标轴上投影的代数和分别为零，力系中所有各力对该平面内任一点之矩的代数和也为零。

式（3.18）称为平面一般力系平衡方程的基本形式，其中前两式称为投影平衡方程，第三式称为力矩平衡方程。此三个方程彼此独立，应用该组方程至多可求解三个未知量的平衡问题。

【例3.9】　如图3.29（a）所示为一悬臂式起重机，图中A、B、C处都是铰链连接。梁AB的自重G＝1kN，作用在梁的中点，电动葫芦连同起吊重物共重W＝8kN，杆BC自重不计，求支座A的支座反力和杆BC所受的力。

【解】　（1）取梁AB为研究对象。

（2）画受力图。梁A端为固定铰支座，其支座反力用两正交反力XA、YA表示；杆BC为二力杆，它的约束反力沿BC轴线，并假设为拉力。画出受力图，选取坐标轴如图3.29（b）所示。

（3）列平衡方程，求未知力。

图3.29

解得

（4）校核。

解得

此结果表明计算无误。

形式二：二力矩式。平面一般力系二力矩式平衡方程：

式（3.19）中两矩心A、B的连线不能与投影轴x轴垂直。

图3.30

图3.30中力系在合力R作用下不平衡，但如果选取的矩心A、B的连线与投影轴x轴垂直，则满足式（3.19），显然是矛盾的。故不能这样选取矩心和投影轴。

【例3.10】　试用式（3.19）解答［例3.9］。

【解】　（1）、（2）同［例3.9］。

（3）列平衡方程式（3.19），求未知力。

图3.31

解得结果同［例3.9］。

形式三：三力矩式。平面一般力系三力矩式平衡方程：

式（3.20）中A、B、C三点不共线。

图3.31中力系在合力R作用下不平衡，但如果选取的矩心A、B、C共线，则满足式（3.20），显然是矛盾的，故所选取的矩心A、B、C不能共线。

【例3.11】　试用式（3.20）解答［例3.9］。

【解】　（1）、（2）同［例3.9］。

（3）列平衡方程式（3.20），求未知力。

解得结果同［例3.9］。

平面一般力系的平衡方程虽然有三种不同的形式，但不论采用哪种形式，都只能列出三个独立的平衡方程。因为只用三个平衡方程就保证了力系的主矢和主矩都为零，任何第四个方程都是力系平衡的必然结果而不再代表力系平衡的必要条件，不是独立的方程。因此，应用平面一般力系的平衡方程只能求解三个未知量。

4.平面平行力系的平衡方程及其应用

平面平行力系可归属为是平面一般力系的一种特殊情况，它的平衡方程可由平面一般力系的平衡方程导出。

形式一：基本形式。设在图3.32所示的平面平行力系中，取y轴与力系中各力的作用线平行，x轴与力系中各力的作用线垂直。不论力系是否平衡，各力在x轴上的投影恒等于零，即∑X＝0自然满足，这一方程就可从平面一般力系的平衡方程中除去。因此，由式（3.18）就可导出平面平行力系的平衡方程基本形式为

图3.32

于是得平面平行力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力的代数和等于零；力系中各力对作用面内任一点的力矩的代数和等于零。

形式二：二力矩式。由平面一般力系的平衡方程的二力矩式（3.19）也可导出平面平行力系的平衡方程的两力矩形式为

式（3.20）中矩心A、B两点的连线不能与各力作用线平行。

平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此，只能求解两个未知量的平衡问题。

【例3.12】　塔式起重机如图3.33（a）所示，已知机身重G＝250kN，设其作用线通过塔架中心，最大起吊重量W＝100kN，起重悬臂长12m，两轨间距4m，平衡锤重Q至机身中心线的距离6m。为使起重机在空载和满载时都不致倾倒，试确定平衡锤的重量。

图3.33

【解】　取起重机为研究对象，画出受力图如图3.33（b）所示。

为确保起重机不倾倒，则必须使作用在起重机上的主动力G、W、Q和约束反力NA、NB所组成的平面平行力系在空载和满载时都满足平衡条件，因此平衡锤的重量应有一定的范围。

（1）满载（W＝100kN）时，若平衡锤重量太小，起重机可能绕B点向右倾倒。开始倾倒的瞬间，左轮与轨道脱离接触，这种情形称为临界状态。这时，NA＝0，满载的临界状态下，平衡锤重为所必需的最小平衡锤重Qmin。于是

解得

（2）空载（W＝0）时，若平衡锤重量太重，起重机可能绕A点向左倾倒。在空载临界状态下，NB＝0，平衡锤重为所允许的最大平衡锤重Qmax。于是

解得

综上所述，为保证起重机在空载和满载时都不致倾倒，则平衡锤的重量Q应满足62.5kN＜Q＜125kN。

5.应用平面力系平衡方程解题的步骤

通过以上各例题的分析，现将应用平面力系平衡方程解题的步骤总结如下：

（1）确定研究对象。根据题意分析已知量和未知量，选取适当的研究对象。

（2）画受力图。在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力。约束反力根据约束类型来画。当约束反力的指向不能确定时，可先假设其指向，如果计算结果为正，则表明假设的指向正确；如果计算结果为负，则表明实际的指向与假设的指向相反。

（3）列平衡方程，求解未知力。以解题简捷为标准，选取相应力系的适当形式的平衡方程；选取恰当的投影轴和矩心，尽可能选取坐标轴与未知力平行或垂直，选取两个未知力的交点为矩心，力求在一个平衡方程中只包含一个未知量，以免求解联立方程。

（4）校核。列出非独立的平衡方程，以校核解答的正确与否。

3.4.2　物体系统的平衡

前面所研究的平衡都是单个物体的平衡问题。但在工程实际中，常遇到由若干个物体通过一定的约束方式组成的系统，这种系统称为物体系统。例如图3.34（a）所示的组合梁，就是由梁AC和梁CD通过铰C连接，并支承在A、B、D支座上而组成的一个物体系统。

物体系统的平衡是指组成系统的每一物体及系统整体都处于平衡状态。

研究物体系统的平衡问题，不仅要求出支座反力，而且还需计算出系统内各物体之间的相互作用力。为此，把作用在物体系统上的力分为外力和内力。所谓外力，就是外界物体对所选研究对象的作用力；所谓内力，就是指研究对象内部各物体之间相互作用的力。这就是说，外力和内力是相对于所选研究对象而言的。当选整个系统为研究对象时，系统内各物体间的相互作用力均为内力。但当取系统内某部分物体为研究对象时，则其余部分对该部分的作用力就为外力。例如组合梁图3.34（b）所示的荷载和A、B、D支座的反力就是外力，而组合梁铰C处的相互作用力，对系统来说则是内力，而对梁AC和梁CD来说，则是外力。

图3.34

要计算物体间的相互作用力，就必须将物体系统拆开，取其中的一部分为研究对象，这样物体间相互作用力才暴露出来成为外力，于是便可应用平衡方程求得。例如要求图3.34（a）所示的组合梁各支座的反力和铰C的约束反力，可先取梁CD为研究对象，将组合梁在铰C处拆开，画出梁CD的受力图如图3.34（c）所示。所受各力组成平面一般力系，列出三个平衡方程，求得RD、XC、YC三个未知力。再取梁AC作为研究对象，画出梁AC的受力图如图3.34（d）所示，所受各力又组成平面一般力系，而且与XC、YC是作用与反作用关系已经求得，这样，余下的三个未知力XA、YA、RB又可列出三个平衡方程求得。

一般说来，物体系统由n个物体组成，而每个物体又都是受平面一般力系作用，则共可列3n个独立的平衡方程，从而求得3n个未知力。如果系统中的物体受到的是平面汇交力系或平面平行力系或平面力偶系作用，则独立的平衡方程的个数将相应减少，而所能求的未知量的个数也相应减少。

下面举例说明求解物体系统平衡问题的方法。

【例3.13】　组合梁由梁AB和梁BC用铰B连接而成，支座与荷载情况如图3.35（a）所示。已知F＝20kN，q＝5kN/m，α＝45°。求支座A、C约束反力及铰B处相互作用力。

【解】　（1）先取梁BC为研究对象，画出受力图及取坐标系如图3.35（b）所示，列平衡方程，求未知力。

解得

图3.35

（2）再取梁AB为研究对象。画出受力图及取坐标系如图3.35（c）所示，列平衡方程，求未知力。

解得

（3）校核。取整个组合梁为研究对象，画出受力图及取坐标系如图3.35（d）所示。分析以上计算结果是否满足物体系统平衡。

可见计算无误。

【例3.14】　钢筋混凝土三铰刚架受荷载如图3.36（a）所示，已知q＝12kN/m，F＝24kN，求支座A、B和铰C的约束反力。

图3.36

【解】　三铰拱由左、右两个半拱组成，其整体及每个半拱的受力图如图3.36（b）、（c）、（d）所示。可见都是一般力系，且都含有四个未知量，都是不可解的。但是整体的受力图中A、B两点分别是其中三个未知力的交点，可以取它们为矩心求出不过它们的另一个未知力，再进一步求解。这种解法称为利用局部可解条件解法。

（1）取整个三铰刚架为研究对象。画出受力图及取坐标系如图3.36（b）所示，列平衡方程，求未知力。