0.7 测量误差的基本知识
0.7.1 测量误差的概念
用测量仪器、工具观测得到的数值，称为观测值。如观测的高差、距离和角度等。观测对象客观存在的量，称为真值。观测值与真值之间存在的微小的差异，称为真误差。
若用L表示观测值，X表示真值，则真误差Δ定义为
在测量中，某些量无法求得真值，这时真误差就无法计算。因此，常采用多次观测之平均值作为该量的最可靠值，也称为最或然值或似真值。观测值与平均值之间存在的微小差异，称为或然误差，又称似真误差或改正数。
若用L表示观测值，
表示平均值，则似真误差（改正数）ν定义为
0.7.2 测量误差的来源
测量误差产生的原因是多种多样的，但由于任何观测值的获取都要具备人、仪器、外界环境这三种要素，所以观测误差产生的原因可归结为下列三方面。
1.仪器误差的影响
仪器误差的影响可从两个方面来理解，一是仪器本身固有的误差，给观测结果带来误差影响；如用只有厘米分划的水准尺进行水准测量时，就很难保证在厘米以下的读数准确无误；二是仪器检校时的残余误差，如水准仪的视准轴不平行于水准轴而产生的i角误差等。
2.观测者的影响
由于观测者感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数等方面都会产生误差。同时，观测者的工作态度和技术水平，也是对观测成果质量有直接影响的重要因素。
3.外界环境的影响
观测时所处的外界条件，如温度、湿度、风力、大气折光等因素都会对观测结果直接产生影响；同时，温度的高低、湿度的大小、风力的强弱以及大气折光的不同，它们对观测结果的影响也随之不同，因而在这样的客观环境下进行观测，就必然使观测的结果产生误差。
上述仪器、观测者、外界环境三方面的因素是引起误差的主要来源，这三方面的因素综合起来称为观测条件。不难想象，观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。当观测条件好时，观测中产生的误差平均说来就可能相对小些，因而观测质量就会高些。反之，观测条件差时，观测成果的质量就会低些。如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。因此，观测成果的质量高低客观地反映了观测条件的优劣，也可以说，观测条件的好坏决定了观测成果质量的高低。
但是，不管观测条件如何，在整个观测过程中，由于受到上述因素的影响，观测的结果就会产生这样或那样的误差。从这个意义上来说，在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在整个观测过程中，称为误差公理。
0.7.3 测量误差的分类
根据观测误差对观测结果影响的性质，可将误差分为系统误差和偶然误差（随机误差）两种。
0.7.3.1 系统误差
在相同的观测条件下作一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，则这种误差称为系统误差。
例如，水准尺的刻划不准，水准仪的视准轴误差，温度对钢尺量距的误差，尺长误差等均属于系统误差。
系统误差具有累计性，对成果的影响较大，应当设法消除或减弱它的影响，采用的方法一般有两种：一是在观测的过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。其目的就是消除或减弱系统误差的影响，达到忽略不计的程度。
0.7.3.2 偶然误差
1.偶然误差概念
在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该系列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。例如，观测时的照准误差，读数时的估读误差等，都属于偶然误差。
如果各个误差项对其总和的影响都一样大小，即其中没有一项比其他项的影响占绝对优势时，那么它们的总和将是服从或近似地服从正态分布的随机变量。因此，偶然误差就其总体而言，都具有一定的统计规律，所以，有时又把偶然误差称为随机误差。
在测量工作的整个过程中，除了上述两种性质的误差以外，还可能发生错误。错误的发生，大多是由于工作中的粗心大意造成的。错误的存在不仅大大影响测量成果的可靠性，而且往往造成返工浪费，给工作带来难以估量的损失。因此，必须采取适当的方法和措施，保证观测结果中不存在错误。所以一般来说，错误不算作观测误差。
观测结果不可避免地包含偶然误差，它是不可消除的，但可以选择较好的观测条件减弱它。
2.偶然误差特性
设有一组观测值L1，L2，…，Ln，其相应的真值为
，
，…，
，真误差为Δ1，Δ2，…，Δn，并设其中不包含系统误差和粗差，则从表面上看，这组误差的大小和符号没有规律，然而，对其进行统计分析则呈现出一定的统计规律性，该组误差的个数越多这种规律性表现得越明显。可以用三种方法来描述一组观测误差的分布规律性。
在相同观测条件下，对某测区781个三角形的内角进行了观测，并按式（0.7.3）求出内角和的真误差为
式中 Δi——第i个三角形内角和观测值的真误差。
由于观测值中已剔除了粗差，且系统误差已削弱到可以忽略不计的程度。因此，从总体讲，这些误差均为偶然因素所致，均属偶然误差，而且各个误差之间是互相独立的。所谓独立，即各个误差在数值的大小和符号上互不影响，与这一组误差相对应的观测值称为互相独立的观测值。
设以dΔ表示误差区间并令其等于0.5″，将这组误差分别按正误差和负误差重新排列，统计误差出现在各区间的个数μi，计算出误差出现在某区间内的频率μi／n，其结果列于表0.7.1中。
从表0.7.1中可以看出，该组误差表现出这样的分布规律：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多；绝对值相等的正误差个数与负误差个数相近；误差的绝对值有一定限度，最大不超过3.5″。
为了形象地表达偶然误差的分布规律，根据表0.7.1的数据，以误差Δ的数值为横坐标，以
为纵坐标可绘制出直方图，如图0.7.1所示，每一误差区间上的长方形面积表示误差在该区间出现的相对个数。误差较小的长方形较高，其面积较大，即误差出现的相对个数较多；反之，误差较大的长方形较低，其面积较小，即出现误差的相对个数较少。所有长方形基本上对称于纵坐标轴，这说明绝对值相等的正误差和负误差出现的相对个数很接近。误差绝对值大于3.5″的长方形没有，表明其面积为零，即出现的相对个数为零，亦即不会出现。还需指出，所有长方形面积之和等于1。
表0.7.1 测量误差频率分布表
当误差个数n无限增多，并无限缩小误差区间时，图0.7.1中各个小长方条顶边的折线就变成一条光滑的曲线，如图0.7.2所示，这条曲线称为误差分布曲线，简称为误差曲线。
图0.7.1 误差直方图
图0.7.2 误差分布曲线
通过以上讨论，可以用概率的术语来描述偶然误差所具有的统计特性：
（1）在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值，或偶然误差的绝对值大于某个值的概率为零，或表述为：观测误差的绝对值小于某个值的概率恒等于1。该特性称为偶然误差的有界性。
（2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大，该特性称为偶然误差的聚中性。
（3）绝对值相等的正负误差出现的概率相等，该特性称为偶然误差的对称性。
（4）偶然误差的算术平均值的极限值为0，该特性称为偶然误差的抵偿性。
0.7.4 衡量测量精度的标准
在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一种确定不变的误差分布。如果分布较为密集，则表示该组观测质量较好，也就是说，这一组观测精度较高；反之，如果分布较为离散，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低。
因此，所谓精度，就是指误差分布的密集或离散的程度。倘若两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。
在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它是对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为同精度观测值。例如，表0.7.1中所列观测结果是在相同观测条件下测得的，各个结果的真误差彼此并不相等，有的甚至相差很大（例如，有的出现于0.0″～0.5″区间，有的出现于3.0″～3.5″区间），但是，由于它们所对应的误差分布相同，因此，这些结果彼此是同精度观测值。
精度是指一组误差的分布密集或离散的程度。分布愈密集，则表示在该组误差中，绝对值较小的误差所占的相对个数愈大。在这种情况下，该组误差绝对值的平均值就一定小。由此可见，精度虽然不是代表个别误差的大小，但是，它与这一组误差绝对值的平均大小显然有着直接关系。因此，用一组误差的平均大小作为衡量精度高低的指标，是完全合理的。用一组误差的平均大小作为衡量精度的指标，可有多种不同的定义，下面介绍几种常用的精度指标。
1.中误差计算
在一定观测条件下，对某量进行n次观测，得到n个观测值，对应求出n个真误差，取这些独立误差平方和的平均值极限的平方根，称为该组观测值的中误差，用m表示，即
说明：式（0.7.3）和式（0.7.4）中的Δ既可以是同一个量的观测值的真误差，也可以不是同一量的观测值的真误差，但必须都是同精度且同类性质观测量的真误差，即是在相同条件下得到的观测值，n是Δ的个数。
在实际工作中，观测次数不能无限多，总是有限的，观测值中误差计算式为
上二式中 n——观测次数；
Δ——真误差；
ν——改正数。
计算的m值愈小，观测值精度愈高。
【例0.7.1】某测区的16个三角形内角和的误差如下，试求三角形内角和中误差。
-5.2″+3.1″ 0.0″-0.2″+1.1″-1.7″+0.1″+1.2″
-0.6″+2.2″-3.2″+1.4″-0.8″+1.0″-0.2″+1.0″
解：将三角形内角和的真误差代入式（0.7.5），可得三角形内角和的中误差
【例0.7.2】用j6经纬仪某水平角观测4测回，各测回值分别为45°32′18″，45°32′10″，45°32′28″和45°32′16″，1测回观测值中误差m是多少?
解：（1）根据题目给出的各测回观测值，求得其平均值为45°32′18″，按式（0.7.2）求出各改正数为
V1=45°32′18″-45°32′18″=0″
V2=45°32′10″-45°32′18″=-8″
V3=45°32′28″-45°32′18″=10″
V4=45°32′16″-45°32′18″=-2″
（2）按式（0.7.6）计算观测值中误差
2.容许中误差计算
前已述及观测成果中不能含有粗差。那么，如何来判定观测误差中的粗差呢?必须要有一个判定标准，超过这个标准的误差就列入粗差，相应的观测值应予剔除或返工重测，这个标准就是极限误差，所谓极限误差就是最大误差。由偶然误差的特性可知，在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是所说的极限误差，但这个界值很难确定，一般规定极限误差的根据是误差出现在某一范围内的概率的大小，即误差Δ出现在（-1km，+1km）内的概率。经计算误差出现在区间（-1m，+1m），（-2m，+2m），（-3m，+3m）内的概率分别为68.3%、95.5%、99.7%。可见，大于三倍中误差的误差，其出现的概率只有0.3%，是小概率事件，在一次观测中，可认为是不可能发生的事件。因此，可规定三倍中误差为极限误差，即
若对观测要求较严，也可规定两倍中误差为极限误差，即
如［例0.7.1］中，若取二倍中误差作为极限误差，则内角和的极限误差为
Δ限=2×1.97=3.94″
3.相对中误差计算
有时，单靠中误差还不能完全表达观测质量的好坏。例如，在同一观测条件下，用尺子丈量了两段距离，一段为500m，一段为1000m，这两段距离的中误差均为2.0cm，用中误差无法评判其精度高低。但很显然，虽然二者中误差相同，但由于不同的距离长度，两者精度并不相同，前者的单位长度的精度比后者低。
所谓相对中误差（也称相对精度），即将观测值中误差与观测值之比，化为分子化为1的分数表示，即用
表示，相对误差误差一般用k表示。即
N一般取至百位数的整数。N值愈大，精度愈高。如上述两段距离，前者的相对中误差为1/25000，而后者则为1/50000，后者精度高于前者。
又如某两点点间观测值为87.366m，观测值中误差为±0.026m，则相对中误差k为
相对（中）误差主要用来衡量距离的精度，不能用来衡量测量高差和角度的测量精度。