2.3　坝基垂直防渗体渗流计算模型的建立

由复变函数的理论可知：正则复变函数w＝f（z）＝U（x，y）＋i V（x，y）的实数部分和虚数部分满足柯西－黎曼方程（Cauchy－Riemann equations），即

上述条件也就是不可压缩流体的稳定平面流动的势函数Φ和流函数Ψ必须满足的方程。在渗流区域D中，函数f（z）＝U＋i V是处处连续且可微的，故可以推出在D内有

这就是渗流连续的拉普拉斯方程。

由复变函数理论可知：如果一个正则复变函数在某一区域有定义，则其可以通过一定的转换式，将此区域的复平面转换到另外一个区域的复平面上，且上述正则复变函数在新的域内仍有意义（图2.1）。

利用克力斯托弗－席瓦尔兹定理可以将一个多边形内域转换为一个半平面。其公式如下：β1，β2，…，βn——相应于多边形的内角除以π所得值。

对于上述的退化情形是：多边形如果有一个或者几个顶点在无穷远处，可以将该多边形称为广义多边形，式（2.11）仍然有效。但要在公式中去掉关于无穷远点的因子，且点在无穷远处的角度用这两条直线在有限点的那个交角的反号代替。

2.3.1　坝基采用垂直防渗体的渗流机理分析

巴普洛夫斯基认为在透水地基上修建土石坝，渗流计算可以将大坝和地基分别计算，总渗流量为二者总和。这样在计算坝基渗流时，坝体渗流可以不予考虑。对于坝基及防渗墙作以下3点假设：①坝基为均质透水地基；②防渗墙都为不透水的防渗体材料；③垂直防渗墙的厚度在转化时不予考虑。根据上述假设，对于建立在无限深透水地基上带有垂直防渗墙的土石坝，其坝基的渗流区域可简化，如图2.2所示。

这样土石坝下曲折的不透水轮廓线和渗流边界可以看作是一个广义多边形，大坝下的渗透区可视为此多边形的内域。应用上述保角变换理论可将其变换到另一个半平面中去，使多边形的各边转换到半平面的实轴上。这样，曲折的基础线被转化成直线，原来的多边形基础就可转化成相应的线型基础。渗流区域内的等势线和流线为两组相互正交的已知的椭圆形方程，通过保角变换可以推导出坝基的渗流计算公式。

2.3.2　模型的建立

对于建立无限深透水地基上采用倒悬挂式防渗墙防渗的土石坝，其坝基的形状可以简化，如图2.3（a）所示，可将其看作一个广义四边形FBCD，其中点F为无穷远点。图中A、E点分别是上下游坝脚所在的位置，上游坝脚A到防渗墙的距离AB＝xa，下游坝脚E到防渗墙的距离ED＝xe。利用式（2.11）可将Z平面的四边形坝基转化到ζ平面的实轴ξ上从而求解（图2.3）。对于将广义四边形FBCD的转化为直线基础的公式如下：

设防渗墙的深度为s，由图2.3（a）可知，多边形各个顶点及对应点的已知量列于表2.1中（点aj，j＝f，b，c，d中的3个是任意给定的，第4个暂时用ξ来表示）。

因为AF是EF的延长线，即它们的夹角为π，则在无穷远点F的顶角等于－π。

利用对称原理可以确定ad＝ξ＝1。

将表2.1中的已知量代入式（2.12）得到

积分化简得

利用对应关系可以确定：m＝s，n＝0

则所求函数为

其反函数为

式（2.16）即为将无限深透水地基上垂直防渗墙基础转化为水平基础的转换式。将Z平面内的A点和E点的坐标代入转换式，可得到在ζ平面上相应的坐标值：

则Z平面的ABCDE被化引为A′B′C′D′E′水平基础，其宽度为2b，由图2.3（b）可知：2b＝ξe－ξa，所以有

其中ξa位于负实轴上，为负值。

显然，Z平面上的水平长度和竖直长度在ζ平面的实轴ξ上的引化长度是不一样的。因此须将η轴向一侧平移，使新的垂直轴η′刚好位于ξa和ξe之间，也就是引化长度的中点（图2.4）。

从η轴到η′轴需要移动的距离为

把η轴平移后的坐标平面称为ζ′平面，ζ平面和ζ′平面的坐标关系如下：

以上步骤完成了将带有垂直防渗墙大坝的多边形基础转化为一个垂直轴位于基础宽度中点的化引基础，从而可以按水平基础求得需要的解答。