2.4 渗流计算公式的推导
2.4.1 渗透压力的公式推导
水平基础渗透特性复数函数公式为（图2.4）
其中：ω＝φ＋iψ，ζ′＝ξ′＋iη′，其中φ、ψ为单位势函数及单位流函数（势函数Φ＝kHφ，流函数Ψ＝kHψ）。
将b和ζ′代入式（2.22）并用反函数表达为
因为基础的轮廓线是一条流线，其单位流函数ψ＝0；对于水平基础η＝0，式（2.23）可改写为
则基础轮廓上的势函数为
则ABCDE线上的水头h的计算公式为
其中，ξ为所求点的坐标，可由式（2.16）求解。
2.4.2 坝基平均渗透坡降的公式推导（最小路径法）
由式（2.26）可以求出基础底部各点的渗透压力，这样可以很容易地推导出坝基平均渗透坡降。如图2.5所示，在坝基内所有通过C点或其下方的流线中，只有一条在防渗墙下游是最短的（图中P2流线），P2通过E点，曲线CE就是最短的流线路径。因为流线通过C点及其下方时水头相等（y轴所在位置为等势线），而FF线上的势可认为等于0，这样C点及下方到下游地面的水头差均相同，此时由最短路径计算出的渗透坡降若能满足坝基渗透稳定的要求，其余各部分便都能满足，所以选取P2曲线中的CE段作为计算路径最为安全。
图2.5 坝基平均渗透坡降计算图
为使公式简单可靠，计算中取直线Lmin来替代曲线CE，所以坝基下游的平均渗透坡降公式如下：
2.4.3 渗流量的公式推导
计算无限深透水地基下的渗透流量，在实际工程计算中可取某一入渗长度a来考虑，即图2.2中AM的长度。一般应根据工程附近的地质资料或物探结果，粗略估算出透水层的厚度T，再根据设计资料得到大坝的坝底半宽L/2，那么入渗长度a可近似用下式计算：
M点在η′平面中的坐标为－ξm′。
无限深透水地基上设有垂直防渗墙大坝的基础单宽渗透流量公式推求过程如下：
在下游河床线上φ＝0，η′＝0。所以式（2.22）变为
根据稳定势流原理有
且Ψ＝kHψ，所以有
式（2.30）中入渗流速向量的方向向下，与坐标轴正方向一致，所以可得单位宽度上的渗透流量：
积分得
所以，FA线上的单宽渗流量计算公式为
EF线上的单宽渗流量计算公式为
以上公式中的z＝x＋i y，ζ＝ξ＋iη，ω＝φ＋iψ；s为防渗墙深度；ξe、ξa、xe、xa均为绝对值（正值），ζ和ξ按辅助平面中的实际位置确定其正负号。
2.4.4 计算实例
某平原水库，库区地基覆盖层主要为第四系冲积物和风积物，主要岩性为粉砂、粉细砂透水层，在设计中按无限深透水地基考虑。水库主坝高8m，坝前最大水深6.5m，坝顶宽5m，迎水坡1∶2.5，坝后1∶2，经地质勘察坝基渗透系数为6.43m/d，允许渗透坡降为0.15，坝基防渗方案是采用倒悬挂式防渗墙控制渗流，垂直防渗墙深度拟为30m，如图2.6所示。求解：（1）基础的渗透压力分布；（2）下游坝基平均渗透坡降；（3）坝基单宽入渗流量。
（1）求基础渗透压力的分布。
防渗墙上游坝基段AB＝10m，即xa＝－10m，由式（2.17）可以求得ξa＝－1.054。
防渗墙下游坝基段DE＝35m，则xe＝35m，由式（2.18）求得ξe＝1.536。
所以，化引水平基础宽为2b＝1.536－（－1.054）＝2.591，所以b＝1.054。
图2.6 某水库坝基渗流计算的复平面转换图
η轴平移的距离为
由式（2.21）可求得
转化为水平基础如图2.6所示，由式（2.24）得
根据式（2.26）求得基础下各点的渗透压力见表2.2：其中，P1、P2、P3、P4为中间插入点（图2.6），坐标分别为－5，－15i，－15i，20。从计算结果可以看出防渗墙的渗透压力明显减小。
表2.2 大坝基础各计算点的渗透压力分布表
（2）平均坡降计算。
由表2.2的计算结果可知C点的渗透压力为3.47m，出逸点的E的渗透压力为0m，代入式（2.27）得到坝基的平均渗透坡降为
满足平均渗透坡降要求。
（3）求上游单宽入渗流量。
计算单宽渗流量时，需设定上游M点的位置，即上游入渗长度a的值。根据水库的相关资料，取L＝100m，再加上AB＝10m可得xm＝－110m，则可以计算得到ξm＝－3.80。
可以得到ξm′＝－3.80－0.5×（1.536－1.054）＝－4.041。
将H、k、b、ξm′代入式（2.34）得
上述算例利用边界元法计算出的渗透坡降和渗流量的结果（见第5章算例）为J＝0.074，q＝26.961m3/（d·m），两种算法的计算结果得到了相互验证。