无穷区间上的积分

傅双双

北京科技大学

作品标题：无穷区间上的积分

所属课程：高等数学

相关知识点：无穷区间上的积分

参考文献：[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]马明环.高等数学[M].2版.北京：高等教育出版社，2014.

[3]苏志平.高等数学基础理论与实验分析[M].北京：中国水利水电出版社，2015.

一、教学背景

在之前的学习中，学生已经学习了定积分的概念、性质、计算及应用。在讨论定积分时有两个最基本的限制条件，即积分区间的有限性和被积函数的有界性。但是在许多实际应用和理论研究中，还会遇到无穷区间上定义的函数或有限区间上的无界函数，对它们也需要考虑类似定积分的问题。因此有必要对定积分的概念加以推广，使之能适用于上述两类情形。

二、教学目标

定积分的计算及极限运算是微积分学中的两种重要运算，本节课通过提出火箭脱离地球引力所需要的最小初速度这一具体物理问题，很自然地引入了无穷区间上的积分，并且将无穷限积分的计算分解成定积分的计算与极限运算两种。因此，本节课要求学生掌握无穷区间上积分的计算，并且能够运用本节课的理论来分析和解决一些几何、物理中的问题。

三、教学内容

1．主要内容

（1）无穷区间上反常积分的概念。

（2）无穷区间上反常积分的计算。

（3）无穷区间上反常积分的应用。

2．教学重点

（1）理解无穷区间上反常积分的计算。

（2）具备用无穷限积分分析和解决物理、几何问题的能力。

3．教学难点

（1）通过对具体问题的分析得到无穷区间上积分的表达式。

（2）无穷区间上的积分与定积分的区别与联系。

四、教学方法与过程

本节课教学分为五部分，即知识回顾、问题引入、概念提出、问题解决和拓展思考。

1.知识回顾

在这一部分，我们简要回顾定积分的概念，以及用元素法解决物理和几何问题的思路。我们强调定积分的两点限制，即积分区间的有限性和被积函数的有界性，从而引出本节课所讨论的无穷区间上积分的背景和必要性。

2.问题引入

从嫦娥四号鹊桥号中继星的成功发射这一振奋人心的事件出发，引出深空探测、火星探测器的发射，进而讨论火箭脱离地球引力束缚所需要的最小初速度的问题。

要解决上述初速度问题，需要对火箭发射建立数学模型，将初速度问题与变力做功问题联系起来，从而与之前课程中讲过的用元素法解决变力做功问题结合起来。先求有限区间上的变力做功问题，将其表示成一个有限区间上的定积分。但是，在此研究背景下，我们需要做的是对定积分的积分上限加上一个取极限的过程，让积分上限趋于正无穷。

这样就引出了积分上限为正无穷形式的积分。

3.概念提出

给出无穷区间上的积分的严格定义，重点强调从定义出发，对无穷区间上的积分的计算应该分成定积分计算和极限运算两部分。

4.问题解决

运用无穷区间上的积分的定义重新理解在火箭发射问题中真正要计算的功，先对其进行定积分运算，再对积分上限取极限，得到功的表达式。结合能量守恒定律，可得到发射速度的下界表达式：

进一步地，从发射速度下界表达式我们可以分析地球半径的变化对速度下界的影响，从而将其与黑洞问题联系起来，让学生感受到数学的妙处。

5.拓展思考

无穷区间上的积分除了在上述物理问题中有应用，在几何上，有没有什么应用呢？我们通过分析17世纪著名的几何悖论——托里拆利小号的体积及表面积，发现它们都涉及本节课所讲解的无穷区间上的积分。运用本节课的知识对其进行计算，便得到托里拆利小号的有趣特性：体积有限，但表面积无限。这样的例子，学生如果第一次听说，会觉得很有意思，我们可以引导学生课后思考怎么构造类似的例子。

此外，为了引入下一节要讲的瑕积分，我们给出一个例子：计算曲线与坐标轴围成的图形的面积。这个例子与前面定积分应用中求面积的问题非常相似，但区别是本例中考虑的被积函数在相应的积分区间上是一个无界函数，对这个积分怎么理解，可让学生提前思考。

五、教学总结

在本节课中，我们由社会热点问题（嫦娥四号鹊桥号中继星发射）的讨论引入了火箭发射初速度这一问题，通过建立数学模型对这一问题进行求解，自然地引入了无穷区间上的积分。在概念提出部分，我们将无穷区间上的积分计算表示成定积分计算结合极限运算，以便加强学生对新知识的理解和对之前所学知识的应用。在拓展部分，我们用无穷区间上的积分分析了托里拆利小号的体积和表面积，得到了有趣的结论，并引导学生思考这些有趣问题背后的数学问题。最后，我们用一个简单的例子引出了下节课要讨论的无界函数的积分问题，让学生去思考。