CT技术的图像重建

刘洪伟

北京物资学院

作品标题：CT技术的图像重建

所属课程：大学数学应用案例

相关知识点：微分方程，正交投影

参考文献：[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[2]James Stewart.Calculus[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.

[3]姜启源.数学模型[M].4版.北京：高等教育出版社，2011.

一、教学背景

1.案例分析

2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题是有关CT系统参数标定及成像的问题。实际上《数学模型》（第四版）就有相关章节对CT扫描成像原理进行介绍。但是从学生的答卷情况来看，并不理想。本节课就是在这种背景下整理构建的，力图讲清楚CT是如何利用高等数学和线性代数的知识实现成像原理的。从案例内容来看，本节课内容是在一元函数导数、微分、不定积分与定积分的基础上介绍的，是一元函数导数与微分的重要应用，同时在求解微分方程的过程中灵活运用了积分的计算和线性代数中的正交理论，体现了函数导数、微分与积分的关系和它们同线性代数的联合运用。从知识储备来看，本节课的内容一方面是对微分方程基本概念的巩固；另一方面也为介绍形式较为复杂的微分方程实际问题的求解打下了基础。

2.学情分析

学生已经学习了一元函数导数、微分与积分，以及微分方程的基本概念，具备了接受新知识的基础，但对于不定积分多种计算方法的灵活运用，还不太熟练。在求解过程中，对不定积分计算的灵活运用及线性代数的拓展应用，对部分学生而言是个难点。

二、教学目标

1.知识与技能

（1）理解X射线强度衰减规律。

（2）理解正交投影的思想和算法原理。

（3）学会实现一些数学的数值技术。

2.过程与方法

通过教师引导、讲解，以及学生观察、分析与练习，培养学生的观察、分析与计算能力，帮助学生体会数学中化繁为简、化难为易的思想。

3.情感态度与价值观

通过这部分的学习，激发学生学习数学的兴趣，增强他们解决数学问题的信心，培养他们细心观察、认真分析、善于推理的良好思维方式。

三、教学内容

（1）CT技术的图像重建。

（2）X射线强度衰减规律。

（3）正交投影算法。

四、教学重点与难点

1.教学重点

本节课的教学重点为微分方程的解法和正交投影算法。正确理解CT技术原理有两个要点：①微分方程积分求解；②线性方程组的构建和正交投影算法。通过实际计算练习，帮助学生理解并掌握这一重点。

2.教学难点

在解方程时，分离变量后，由于不定积分的形式多样，选择合适的方法来求积分，从而求出原方程的解是教学的难点。

五、教学方法

本节课主要运用讲练结合的教学方法。

（1）引入CT技术获得诺贝尔生理学或医学奖的问题，吸引学生注意，引起学生兴趣，同时激发他们思考转化问题的能力。

（2）给出微分方程，与学生共同复习微分方程的求解。

（3）讲授微分方程的解法，指出求解过程的难点在于积分的计算。

（4）讲授图像重建的代数模型，由于线性方程组可能没有解，提出正交投影算法。讲解算法的直观含义，导出迭代模型。

（5）举例介绍线性方程组的求解方法。手工求解难度略大，需要借助计算机编制程序，进一步帮助学生灵活掌握该解法。

六、教学过程

1.CT技术的图像重建

CT技术是20世纪50年代至70年代由Cormark和Hounsfield通过核物理、核医学等领域的一系列研究和实验发明的。也正因为这一卓越贡献，两位科学家于1979年共同获得了诺贝尔生理学或医学奖。

2.医学应用

从1971年第一代供临床应用的CT设备问世以来，随着电子技术的飞速发展，CT技术不断改进，新型设备逐渐被医疗机构普遍采用。

此外，CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测等领域也得到了广泛的应用。

3.CT与X射线

图1（a）为脚踝的某角度扫描投影图，我们只能看到有钢板，但很难看到一些更详细的细节；图1（b）为其多角度动图，它比图1（a）提供的信息更多。

概括地说：

（1）X射线成像将人体器官和组织前后重叠地直接投影到胶片上，呈现出具有一定分辨率但不够清晰的图像。

（2）CT则在不同深度的断面上，从各个角度用探测器接收旋转的X射线管发出并由于穿过人体而强度衰减的射线，再经过测量和计算，将人体器官和组织的影像重新构建出来，这个过程称为图像重建。

4.X射线强度衰减规律

X射线在穿过均匀材料的物质时，其强度的衰减率与强度本身成正比，即

式中，为射线强度；为物质在射线方向的厚度；为物质对射线的衰减系数。

对式（1）求积分，可得

式中，为入射强度。

当X射线穿过由不同衰减系数的材料组成的非均匀物体时，式（1）中的为某平面坐标x，y的函数。当射线沿xy平面内的直线L穿行时，式（2）变为

式中，是沿L的线积分，由式（3）可得

式（4）右端的数值可从CT的X射线管和探测器的测量数据得到。

如果根据式（4）得到了沿许多条直线L的线积分，那么能不能确定被积函数呢？如果能，就可以根据人体内各断面对X射线的衰减系数，得到反映人体器官和组织大小、形状和密度的图像，即实现图像重建。

5.图像重建的代数模型

（1）将待测的平面图形分成若干小正方形，称之为像素（见图2）。

（2）一定宽度的射线束从各方向穿过这些像素（见图3）。

（3）不同像素对射线的衰减系数可以不同，但合理地假定每个像素对射线的衰减系数是常数。

（4）模型要通过对多条穿过待测平面图形的射线强度的测量，确定各像素的衰减系数。

设有m个像素、n束射线，第i束射线记作Li，由Li的强度测量数据计算出式（4）的右端，记作，则式（4）的积分形式可以写成如下的和式：

式中，是像素j的衰减系数；是射线在像素j中的穿行长度；是射线束穿过的像素j的集合。

实际应用时，对式（5）的计算定义了几种常用的方法。为了简单起见，记为，记为。

（1）中心法：当射线束经过像素j的中心点时，记；否则记。

（2）中心线法：记射线束的中心线在像素j内的长度与像素边长之比为。

（3）面积法：记射线束在像素j内的斜射面积与直射面积之比为。

不论采用哪种方法，都可以利用代数方程Ax=b来重建图像，具体形式如下：

即根据已知的矩阵A和测量数据计算出的向量b，确定像素的衰减系数向量。实际上像素数量m和射线数量n都很大。因此上述方程组可能有唯一解、多解或无解。下面我们处理无解的情况。

首先我们看下面一个例子。

从图4可以看出，这个方程组无解，我们希望找到一个在某种意义下的邻近解。当然这个邻近解如果能落到阴影中最好。下面我们介绍一种求解方法。

6.正交投影算法

令L是R2平面中的线性方程，是平面中的任意一点，再令在L上的正交投影点为（见图5），于是可以表示为

式（6）正交投影计算如下：

利用正交投影算法的公式得

可以推广为

进而得到式（6）的邻近解，如表1所示。

上述方法采用的是对式（4）进行离散化处理的方式，其精度不高，计算速度也不快，还有没有其他方法呢？

7.Radon逆变换

1917年，奥地利数学家Radon给出了以下积分变换的逆变换表达式，为图像重建提供了理论基础。

（1）定义函数在平面上沿直线L的线积分为

对任意一点，作与相距为的直线L的线积分。

（2）对所有的q，取的平均值，记作，则Q点的函数值f为

从理论的角度看，式（7）和式（8）给出了对图像重建问题的完整解答，而从应用的角度看，这仅仅是个开始。

8.CT实际应用面临的问题

1）Radon逆变换需要无穷多条直线L的线积分

实际上，只能在有限条直线上得到投影（线积分），而在逆变换的数学方法及其稳定性、重建图像的清晰度，以及积分的离散化等方面还有许多工作要做。

2）CT技术应用具有必要条件

从反投影算法到滤波反投影算法和迭代算法，从平行光束重建算法到扇形光束、锥形光束的重建算法，图像重建问题在数学方法上具有进展，才能为CT技术在各领域的成功应用和不断拓展提供必要的条件。

3）测量误差和噪声影响

测量误差和噪声影响不可忽视，应修正为，其中是误差向量。

七、教学总结

1.总结

（1）X射线强度衰减规律。

（2）正交投影算法。

2.练习

利用编程语言实现如下正交投影算法：