3.2 湍流的数值模拟方法
湍流流动是一种高度非线性的复杂流动，但人们已经能够通过某些数值方法对湍流进行模拟，所得结果与实际比较吻合。本节将简要介绍湍流的各种数值模拟方法。
3.2.1 湍流数值模拟方法的分类
总体而言，目前的湍流数值模拟方法可以分为直接数值模拟法（Direct Numerical Simulation，DNS）和非直接数值模拟法。所谓直接数值模拟法是指直接求解瞬时湍流控制方程式（3.1）和式（3.2）；而非直接数值模拟法就是不直接计算湍流的脉动特性，而是设法对湍流作某种程度的近似和简化处理，例如，采用3.1部分给出的时均性质的Reynolds方程就是其中一种典型做法。根据所采用的近似和简化方法不同，非直接数值模拟法分为大涡模拟法（Large Eddy Simulation，LES）、统计平均法和Reynolds平均法（RANS）。湍流数值模拟法分类如图3.2所示。
图3.2 三维湍流数值模拟方法及相应的湍流模型
统计平均法是基于湍流相关函数的统计理论，主要用相关函数及谱分析的方法来研究湍流结构，统计理论主要涉及小尺度涡的运动，这种方法在工程上应用不广泛。下面简要介绍直接数值模拟法（DNS）、大涡模拟法（LES）、Reynolds平均法。
3.2.2 直接数值模拟法
DNS法就是直接用瞬时的N-S方程式（3.2）对湍流进行计算。DNS法的最大好处是无须对湍流流动作任何简化或近似，理论上可以得到相对准确的计算结果。
但是，实验研究表明，在一个0.1m×0.1m的流动区域内，在大雷诺数的湍流中可能包含尺度有10～100μm的涡，一般需要高达109～1012个计算网格节点数来描述所有尺度的涡。同时，湍流脉动的频率约为10kHz，因此，必须将时间的离散步长取为100μs以下。在如此微小的空间和时间步长下，才能分辨出湍流中详细的空间结构及变化剧烈的时间特性。对于这样的计算要求，现有的计算机能力还是难以达到的。DNS法对内存空间及计算速度的要求非常高，目前还无法用于真正意义上的工程计算，但大量的探索性工作正在进行之中。
随着计算机技术，特别是并行计算技术的飞速发展，有可能在不远的将来将这种方法用于实际工程计算。
3.2.3 大涡模拟法
为了模拟湍流流动，一方面要求计算区域的尺寸应大到足以包含湍流运动中出现的最大涡，另一方面要求计算网格的尺度应小到足以分辨最小涡的运动。然而，就目前的计算机能力来讲，能够采用的计算网格的最小尺度仍比最小涡的尺度大许多。因此，目前只能放弃对全尺度范围上涡的运动的模拟，只将比网格尺度大的湍流运动通过N-S方程直接计算出来，对于小尺度的涡对大尺度运动的影响则通过建立模型来模拟，从而形成了目前的LES法。
LES法的基本思想：用瞬时N-S方程式（3.2）直接模拟湍流中的大尺度涡，不直接模拟小尺度涡，而小涡对大涡的影响通过近似的模型来考虑。
总体而言，LES法对计算机内存及CPU速度的要求仍比较高，但低于DNS法。目前，在工作站和高档PC上已经可以开展LES工作。LES方法是目前CFD研究和应用的热点之一，具体将在后面介绍这种方法。
3.2.4 Reynolds平均法
多数观点认为，虽然瞬时的N-S方程可以用于描述湍流，但N-S方程的非线性使得采用解析方法精确描写三维瞬态问题的全部细节极端困难，即使能真正得到这些细节，对于解决实际问题也没有太大的意义。因为从工程应用的观点上看，湍流所引起的平均流场的变化是一个整体的效果。因此，人们很自然地想到求解时均化的N-S方程，而将瞬态的脉动量通过某种模型在时均化的方程中体现出来，由此产生了Reynolds平均法。Reynolds平均法的核心是不直接求解瞬时的N-S方程，而是想办法求解时均化的Reynolds方程式（3.13）。这样，不仅可以避免DNS方法的计算量大的问题，而且对工程实际应用可以取得很好的效果。Reynolds平均法是目前使用最为广泛的湍流数值模拟方法。
由于时均化的Reynolds方程式（3.13）简称为RANS，因此，Reynolds平均法也称为RANS法。
考察Reynolds方程式（3.13）可以看出，方程中有关于湍流脉动值的Reynolds应力项，这属于新的未知量。因此，要使方程组封闭，必须对Reynolds应力做出某种假设，即建立应力的表达式（或引入新的湍流模型方程），通过这些表达式或湍流模型，把湍流的脉动值与时均值等联系起来。由于没有特定的物理定律可以建立湍流模型，所以目前的湍流模型只能以大量的实验观测结果为基础。
根据对Reynolds应力做出的假设或处理方式不同，目前常用的湍流模型有Reynolds应力模型和涡黏模型两大类。下面分别介绍这两类湍流模型。
3.2.4.1 Reynolds应力模型
在Reynolds应力模型方法中，直接构建Reynolds应力方程，然后联立求解式（3.12）～式（3.14）及新建立的Reynolds应力方程。通常情况下，Reynolds应力方程是微分形式的，称为Reynolds应力方程模型。若将Reynolds应力方程的微分形式简化为代数方程的形式，则称这种模型为代数应力方程模型。这样，Reynolds应力方程模型包括Reynolds应力方程模型和代数应力方程模型。后续内容将分别介绍这两种模型。
3.2.4.2 涡黏模型
在涡黏模型方法中，不直接处理Reynolds应力项，而是引入湍流黏度，或称涡黏系数，然后把湍流应力表示成湍流黏度的函数，整个计算的关键在于确定这种湍流黏度。
湍流黏度的提出来源于Boussinesq提出的涡黏假设，该假设建立了Reynolds应力相对于平均速度梯度的关系，即
（3.16）
（3.17）
式中 μt——湍流黏度；
ui、uj——时均速度；
xi、xj ——笛卡尔坐标；
δij——Kronecker delta（克罗内克δ）符号（当i=j时，δij=1；当i≠j时，δij=0）；
k——湍动能。
湍流黏度μt是空间坐标的函数，取决于流动状态，而不是物性参数。下标“t”表示湍流流动。
由此可见，引入Boussinesq假设后，计算湍流流动的关键就在于如何确定μt。所谓的涡黏模型，就是把湍流黏度μt与湍流时均参数联系起来的一种关系式。根据确定湍流黏度的微分方程数目的多少，涡黏模型包括零方程模型、一方程模型、二方程模型。
目前，二方程模型在工程中使用最为广泛，最基本的二方程模型是标准k-ε模型，即分别引入关于湍动能k和耗散率ε的方程。此外，还有各种改进的k-ε模型，比较著名的是RNG（Renormalization Normal Group，重正化群）k-ε模型和Realizable k-ε模型。对此，将在后面内容分别介绍这些涡黏模型。