3.3　零方程模型及一方程模型

3.2部分提出了在Reynolds平均法中如何处理Reynolds应力项的若干湍流模型，本节介绍最简单的零方程模型及一方程模型。

3.3.1　零方程模型

所谓零方程模型，是指不使用微分方程，而是用代数关系式，把湍流黏度与时均值联系起来的模型。它只用湍流的时均连续方程式（3.12）和Reynolds方程式（3.13）组成方程组，把方程组中的Reynolds应力用平均速度场的局部速度梯度来表示。

零方程模型方案有多种，最著名的是普朗特（Prandtl）提出的混合长度模型。Prandtl假设湍流黏度μ_t与时均速度u_i的梯度和混合长度l_m的乘积成正比。例如，在二维问题中则有：

　　（3.18）

湍流切应力表示为：

　　（3.19）

式中，混合长度l_m由经验公式或实验确定。

混合长度模型的优点是直观、简单，对于如射流、混合层、扰动和边界层等带有薄的剪切层的流动效果比较有效，但由于混合长度l_m在简单流动中比较容易确定，而在复杂流动中则很难确定，而且也不能用于模拟带有分离回流的流动，因此零方程模型在实际工程中很少使用。

3.3.2　一方程模型

在零方程模型中，湍流黏度μ_t和混合长度l_m都把Reynolds应力和当地平均速度梯度相联系，是一种局部平衡的概念，而忽略了对流和扩散的影响。为了弥补混合长度模型的局限性，在湍流的时均连续方程式（3.12）和Reynolds方程式（3.13）基础上，再建立一个湍动能k的输运方程，并将湍流黏度μ_t表示成湍动能k的函数，而使方程组封闭。这里，湍动能k的输运方程可写为：

　　（3.20）

式（3.20）从左至右，各项依次为瞬态项、对流项、扩散项、产生项、耗散项。根据Kolmogorov-Prandtl表达式，有：

　　（3.21）

式中　σ_k、C_D、C_μ——经验常数，多数文献建议σ_k=1.0、C_μ=0.09；对于C_D的取值，在不同的文献中取值不同，一般取为0.08～0.38；

l——湍流脉动的特征长度，依据经验公式或实验而定。

式（3.20）与式（3.21）构成一方程模型。一方程模型考虑到湍动的对流输运和扩散输运，因而比零方程模型更为合理。但是，一方程模型中如何确定特征长度l仍为不易解决的问题，因此很少在工程中得到应用。