3.4　标准k-ε二方程模型

标准k-ε模型是典型的两方程模型，它是在一方程模型的基础上，再引入一个关于湍流耗散率ε的方程后形成的，该模型是目前使用最广泛的湍流模型。本节介绍k-ε标准模型的定义及其相应的控制方程组。

3.4.1　标准k-ε模型

在湍动能k的方程的基础上，再引入一个关于湍流耗散率的ε方程，便构成了k-ε两方程模型，称为标准k-ε模型。在模型中，湍流耗散率ε的定义为：

　　（3.22）

将湍流黏度表示成k和ε的函数，即

　　（3.23）

式中　C_μ——经验常数。

在标准k-ε模型中，k和ε是两个基本未知量，与之相应的输运方程分别为：

　　（3.24）

　　（3.25）

式中　G_k——由平均速度梯度引起的湍动能k的产生项；

G_b——由浮力引起的湍动能k的产生项；

Y_M——可压湍流中的脉动扩张项；

C_1ε、C_2ε、C_3ε——经验常数；

σ_k、σ_ε——与湍动能k和耗散率ε二者相对应的Prandtl数；

S_k、S_ε——用户定义的源项。

3.4.2　标准k-ε模型的有关计算公式

在标准模型中，式（3.22）与式（3.23）中各项的计算公式如下。

首先，G_k是由平均速度梯度起的湍动能k的产生项，其计算式为：

　　（3.26）

式（3.25）中G_b是由于浮力引起的湍动能k的产生项，对于不可压流体，G_b=0；对于可压流体，有

　　（3.27）

式中　Pr_t——湍动Prandtl数，在此模型中Pr_t=0.85；

g_i——重力加速度在第i方向的分量；

β——热膨胀系数，可由可压缩流体的状态方程求出，其表达式为：

　　（3.28）

式（3.24）中Y_M代表可压缩湍流中的脉动扩张项，对于不可压缩流体，Y_M=0；对于可压缩流体，有

　　（3.29a）

　　（3.29b）

　　（3.29c）

式中　M——湍流马赫（Mach）数；

a——声速。

在标准k-ε模型中，根据Launder等的推荐值及后来的实验验证，模型常数C_1ε、C_2ε、C_μ、σ_k和σ_ε的取值为：

　　（3.30）

对于可压缩流体的流动计算中与浮力相关的系数C_3ε，当主流方向与重力方向平行时，C_3ε=1；当主流方向与重力方向垂直时，C_3ε=0。

根据以上分析，当流动为不可压，且不考虑用户自定义的源项时，G_b=0、Y_M=0、S_k=0和S_ε=0，此时，标准k-ε模型分别为

　　（3.31）

　　（3.32）

式（3.31）和式（3.32）为标准k-ε模型简化后的形式，这便于分析不同湍流模型的特点，在后续介绍的改进的k-ε模型也将采用这种简化形式。

式（3.31）和式（3.32）中的G_k按式（3.26）计算，其展开式为：

　　（3.33）

3.4.3　标准k-ε模型的控制方程组

采用标准k-ε模型求解流动及换热问题时，控制方程包括连续性方程、动量方程、能量方程、k方程、ε方程与湍流黏度的定义式（3.23）。若不考虑热交换，只是单纯流场计算问题，则不需要包含能量方程。若考虑传质或有化学变化的情况，则应增加组分方程，这些方程均可用如下通用形式表示：

　　（3.34）

使用散度和梯度符号，式（3.34）可改为：

　　（3.35）

为查阅方便，表3.1给出了在三维笛卡尔坐标系下，与式（3.35）所对应的标准k-ε模型的控制方程。

3.4.4　标准k-ε模型方程的解法及适用性

在将各类变量的控制方程都写成式（3.35）所示的统一形式后，控制方程的离散化及求解方法可以求得统一，这为发展大型通用计算程序提供了条件。以式（3.35）为出发点所编制的程序可以适用于各种变量，不同变量间的区别仅在于广义扩散系数、广义源项及初值、边界条件三个方面。实际上，目前世界上研究计算流体动力学的主要机构所编制的程序多是针对式（3.35）写出的。应特别注意区别不同变量的源项在离散化及求解过程中的特殊问题。

对于标准k-ε模型的适用性，需注意以下几点。

（1）模型中的有关系数，如式（3.30）中的值，主要是根据一些特殊条件下的实验结果而确定的，在讨论不同问题时，这些值取值可能有所不同，但总体来讲本节推荐取值得到了广泛应用。虽然这组系数有较广泛的适用性，但也不能过高估计其适用性，在数值计算过程中针对特定的问题需要参考相关文献研究寻找更合理的取值。

（2）本节所给出的标准k-ε模型，是针对湍流发展非常充分的湍流流动来建立的，也就是说，它是一种针对高雷诺数的湍流计算模型，而当雷诺数比较低时，例如，在近壁区内的流动，湍流发展并不充分，湍流的脉动影响可能不如分子黏性的影响大，在更贴近壁面的底层内，流动可能处于层流状态。因此，对雷诺数较低的流动使用上面建立的标准k-ε模型进行计算，就会出现问题。因而必须采用特殊的处理方式，以解决近壁区内的流动计算及低雷诺数时的流动计算问题。常用的解决方法有两种：一种是采用壁面函数法；另一种是采用低雷诺数的k-ε模型。

（3）标准k-ε模型比零方程模型和一方程模型有了很大改进，在科学研究及工程实际中得到了最为广泛的检验和应用，但用于强旋流、弯曲壁面流动或弯曲线流动时会产生一定的失真。这是由于在标准k-ε模型中，对于Reynolds应力的各个分量，假定湍流黏度μ_t是各向同性的标量。而在流线弯曲的情况下，湍流是各向异性的，μ_t应该是各向异性的张量。为了弥补标准k-ε模型的缺陷，许多学者提出了对标准k-ε模型的改进型模型，目前，应用比较广泛的改进型模型有两种：RNG（Renormalization Group，重正化群）k-ε模型和Realizable k-ε模型。