2.2 光纤传输原理

根据纤芯直径2a和光波波长λ比值的大小，可用光在波导中的光线理论或导波理论两种方法对光纤的传输原理进行分析。对于多模光纤，2a/λ远远大于光波波长λ，可用几何光学的光线理论近似分析光纤的传光原理和特性；对于单模光纤，2a可与λ比拟，就必须用麦克斯韦导波理论来进行分析。

2.2.1 光线理论分析传输条件——全反射和相干

从1.3.1节的介绍已经知道，光波从折射率较大的介质入射到折射率较小的介质时，在边界将发生反射和折射，当入射角θ_i超过临界角θ_c时，将发生全反射，如图1.3.4c所示。光纤传输电磁波的条件除满足光线在纤芯和包层界面上的全反射条件外，还需满足传输过程中的相干加强条件。因此，对于特定的光纤结构，只有满足一定条件的电磁波可以在光纤中进行有效的传输，这些特定的电磁波称为光纤模式。光纤中可传导的模式数量取决于光纤的具体结构和折射率的径向分布。如果光纤中只支持一个传导模式，则称该光纤为单模光纤。相反，支持多个传导模式的光纤称为多模光纤。

为简单和直观起见，以阶跃型光纤为例，进一步用几何光学方法分析多模光纤的传输原理和导光条件。如图2.2.1所示，光线在光纤端面以不同角度α从空气入射到纤芯（n₀<n₁），不是所有的光线能够在光纤内传输，只有一定角度范围内的光线在射入光纤时产生的折射光线才能在光纤中传输。假如在光纤端面的入射角是α，在波导内光线与正交于光纤轴线的夹角是θ_i。此时，θ_i>θ_c（临界角）的光线将发生全反射，而θ_i<θ_c的光线将进入包层泄漏出去。于是，为了光能够在光纤中传输，入射角α必须要能够使进入光纤的光线在光纤内发生全反射而返回纤芯，并以曲折形状向前传播。由图2.2.1可知，最大的α角应该是使θ_i=θ_c。在n₀/n₁界面，根据斯奈尔（Snell）定律（见1.3.1节）可得全反射时由式（1.3.2）可知，sinθ_c=n₂/n₁，将此式代入式（2.2.1），可得

当光从空气进入光纤时，n₀=1，所以

定义数值孔径（Numerical Aperture, NA）为

式中，Δ=（n₁-n₂）/n₁为纤芯与包层相对折射率差。设Δ=1%，n₁=1.5，得到NA=0.21或θ_c=12.1°。因此用数值孔径表示的光线最大入射角α_max是

角度2α_max称为入射光线的总接收角，它与光纤的数值孔径和光发射介质的折射率n₀有关。式（2.2.4）只应用于子午光线入射，对于斜射入射光线，具有较宽的可接收入射角。多模光纤的大多数入射光线是斜射光线，所以它对入射光线所允许的最大可接收角要比子午光线入射的大。

当θ_i=θ_c时，光线在波导内以θ_c入射到纤芯与包层交界面，透射光线沿交界面向前传播（透射角为90°），如图2.2.1b所示。当θ_i<θ_c时，光线将透射进入包层并逐渐消失。因此，只有与此相对应的在半锥角为2α_max的圆锥内入射的光线才能在光纤内传播，所以光纤的受光范围是2α_max。

NA表示光纤接收和传输光的能力，NA（或α_max）越大，光纤接收光的能力越强，从光源到光纤的耦合效率越高。对无损耗光纤，在α_max内的入射光都能在光纤中传输。NA越大，纤芯对光能量的束缚能力越强，光纤抗弯曲性能越好。但NA越大，经光纤传输后产生的输出信号展宽越大，因而限制了信息传输容量，所以要根据使用场合，选择适当的NA。

2.2.2 光线理论分析光纤传输模式

光纤波导横截面是二维（r和φ）尺寸，如图2.2.6所示，反射从所有表面，即从与y轴成φ角的任意半径方向所碰到的界面发生反射。为了理解光纤的传输理论，先来分析光线在一维（φ=0）光纤波导中的传播，如图2.2.2所示。

1.分析一维波导光纤

由于波导芯的折射率n₁大于包层的折射率n₂，所以光在光纤波导界面处发生全反射。取电场E方向为沿x方向、平行于界面并正交于z方向。光线以z字形沿z方向向前传播，并在纤芯和包层界面处（如B和C点）全反射，在图2.2.2中，用细实线表示出光线恒定的相位波前，它正交于传输方向。光线在C点反射后，反射光线波前正好与在A点的起始光线波前重叠，如果它们不同相，这两束光线将相消干涉，相互抵消。因此只有特定的反射角θ能够发生相长干涉，由此可见，只有特定的波才能在波导中存在。

A和C两点的相位差对应光路径长度AB+BC，而且在A和B点的每次全反射都会产生一个相位差ϕ。假如k₁是光波在n₁介质中的传播常数，k₁=kn₁=2πn₁/λ，式中k和λ分别是自由空间传播常数和波长。为了实现相长干涉，A、C两点间的相位差必须是2π的整数倍，即

Δϕ（AC）=k₁（AB+BC）-2ϕ=m（2π），m=0，1，2，…

由图2.2.2可知，BC=d/cosθ，AB=BCcos（2θ），于是

AB+BC=BCcos(2θ)+BC=BC［(2cos2θ-1)+1］=2dcosθ

所以光波在波导中传输的条件是

显然，对于给定的m，只有一定的θ和ϕ值才能满足式（2.2.5），ϕ与θ有关，也与光波的偏振态有关。因此对于每个m值，将允许有一个θ_m和一个相对应的ϕ_m。因k₁=2πn₁/λ，d=2a，所以满足波导相长干涉的波导条件式（2.2.5）变成

式中，ϕ_m表示ϕ是入射角θ_m的函数。

可以把波矢量k₁分解成两个沿波导（z轴）的传播常数β和k，如图2.2.2所示。设θ_m满足波导条件，则

由式（2.2.6）显然可见，只有一定入射角的光线才能在波导内传输，并与m=0,1,2,…对应，而且大的m值产生小的θ_m角。每个不同的m值将产生不同的由式（2.2.7）决定的传播常数β，m值称为模数。

与式（1.2.5）类似，沿波导传输的光波可用式（2.2.9）来描述

式中，E_m（y）表示对于给定的m，电场在沿z方向传输的过程中沿y方向的分布，如图2.2.3所示。图2.2.4表示m=0，1，2三种模式的波沿波导y方向的电场分布，m越大光场进入包层越深，在包层靠近界面的消逝波以指数形式沿y方向衰减。整个电场沿z方向以各自的传播常数β_m传输，从2.3.2节可知它是群速度。图2.2.5表示光脉冲进入波导后分裂成各种模式的波，以不同的群速度向前传输，高阶模传输最慢，低阶模最快，在波导输出端重新复合构成展宽的输出光脉冲。

2.归一化芯径——V参数

虽然式（2.2.6）规定了光波在波导中传输所允许的入射角，但它还必须同时满足全反射条件sinθ_m>sinθ_c，因此在波导中有一个允许在其中传输的最大模数。从式（2.2.6）可以获得一个sinθ_m的表达式，并应用sinθ_m>sinθ_c，得到最大模数m必须满足

式中

V数也叫作V参数，因为频率与波长成反比，所以叫归一化频率；在光纤波导中，因为d=2a，所以V参数也叫归一化芯径。对于给定的自由空间波长λ，V数取决于波导几何尺寸（d=2a）和波导特性（n₁和n₂）。从式（2.2.10）和式（2.2.11）可知，要想使模式数量减少，可以减少2a/λ值，或者使n₁和n₂值更接近些。

3.分析二维波导光纤

光纤波导横截面是二维（r和φ）尺寸，如图2.2.6所示。因为任意方向的半径r均可以用x和y来表示，所以波的相长干涉包括x方向和y方向的反射，因此用两个整数l和m来标记所有可能在波导中存在的行波或导模。

在阶跃折射率光纤中，沿光纤曲折传输的光线，除通过轴线入射的子午光线外（每个反射光线也通过光纤轴线），如图2.2.6a所示，还有非轴线入射的斜射光线，此时反射光线没有通过轴线，而是围绕轴线螺旋式前进，如图2.2.6b所示。

在阶跃多模光纤中，入射的法线光线和斜射光线都产生沿光纤传输的导模，每一个都具有一个沿z方向的传播常数（群速度）β。法线光线在光纤内产生TE波和TM波，然而斜射光线产生的导模既有横电场E_z分量，又有横磁场B_z分量，因此既不是TE波，也不是TM波，而是HE波或EH波，这两种模的电场和磁场都具有沿z方向的分量，所以称为混合模，如图2.2.7a所示。HE模的磁场分量比电场分量强，而EH模却相反。

当光纤的折射率差Δ≪1时，称这种光纤为弱导光纤。通常阶跃型光纤Δ≈0.01，所以它是弱导光纤。这种光纤的导模几乎是平面偏振行波，它们具有横电场和横磁场，即E和B互相正交，且垂直于z轴，类似于平面波的场方向，但是场强在平面内不是常数，称这些波为线性偏振（Linearly Polarized, LP）波，即具有横电场和横磁场的特性。这种沿光纤传输的LP导模可用沿z方向的电场分布E（r，φ）表示，这种场分布或者场斑是在垂直于光纤轴（z方向）的平面内，因此与r和φ有关，而与z方向无关。因此用对应于r和φ两种边界的两个整数l和m来描述其特性。这样在一个LP模中的传输场分布可用E_lm（r，φ）表示，称这种模为LP_lm模。于是LP_lm模就可用沿z方向的行波表示

式中，E_LP表示LP模的电场，β_lm是它沿z方向的传播常数。显然，对于给定的l和m，E_lm（r，φ）表示在z轴某个位置上特定的场分布，该场以β_lm（群速度）沿光纤传播。

图2.2.7表示阶跃光纤的基模（E₀₁）电场分布，它对应l=0和m=1的LP₀₁模（即零次模，N=0）。该场在纤芯的中心（光纤轴）最大，由于透射波（含消逝波）的存在，有部分场进入包层，其大小与V参数有关，由式（2.2.7）可知，即与波长有关。各模的光强与E2成正比，这意味着，在LP₀₁模内的光强分布具有沿光纤轴线的最大值，如图2.2.7b所示，在中心最大，逐渐减弱，接近包层最小。图2.2.7c也表示出LP₁₁模（即1次模，N=1）和LP₂₁模（即2次模，N=2）的强度分布。l和m对应LP_lm模的光强分布图案（场斑），l表示循环一周（φ=360°）最大光强的对数，m表示从纤芯开始沿r方向到包层具有场斑的个数。例如，LP₂₁模表示循环一周有两对场斑，从纤芯到包层有一个场斑。由此可见，l表示螺旋传输的程度，或者说斜射光线对该模贡献的大小，对于LP₀₁（基模）l为零，说明没有斜射光线，对于LP₁₁模，循环一周有一对场斑；m与光线的反射角有关。

从上面的讨论可知，光以各种传导模沿光纤传输，每种模具有自己的传播常数β_lm（即与波长有关的群速度V_g（l,m））、电场分布E_lm（r,φ）。当脉冲光射入光纤后，它通过各种导模沿光纤传输，然而每种模式的光以不同的群速度传输，低次模传输快，高次模传输慢，所以到达光纤末端的时间也各不相同，经光探测器转变成光生电流后，各模式混合使输出脉冲相对于输入脉冲展宽，这种色散称为模间色散。色散与光纤波导的结构参数和尺寸（a和Δ）有关，这一点将在2.3.2节进一步讨论，因此可以设计一种只能传输基模的波导，从而也就没有模间色散。

2.2.3 导波理论分析光纤传输模式

光纤波导是导电率为零的一种圆柱形波导，用3个变量即光纤半径尺寸r、光纤轴方向z、r与y轴的夹角φ表示，如图2.2.6所示，在光纤中传输的光波是电磁波，其运动规律仍遵守麦克斯韦波动方程，它是一种微分方程。在柱坐标系中，用拉普拉斯方程表示的光纤波导内的电场为

式中，k₀为传播常数，n为阶跃光纤折射率，当r≤纤芯半径a时，n=n₁；当r＞a时，n=n₂。

光纤波导结构决定边界条件，用分离变量法将波动方程式（2.2.13）化解为系数为自变量函数的贝塞尔线性方程，然后通过适当的换元法将变系数方程化为常系数方程，便可把光的传播用电磁波表示。只有满足边界条件所决定的某一相位匹配条件，电磁波才能被封闭在纤芯内传输，这就是传输模。解波动方程可以得到光纤模式特性、场结构、传播常数和截止条件等。用波动光学分析光波在光纤中的传输结果是，第一类l阶贝塞尔函数J_l（x）可以描述光波在纤芯内的光场分布，它有点像衰减的正弦函数；第一类修正l阶贝塞尔函数K_l（x）可以描述光波在包层内的光场分布，它有点像衰减的指数函数。对于阶跃折射率光纤，反映其特性的V参数为

因传播常数k₀=2π/λ（见1.2.2节），所以

式中，λ是自由空间工作波长，a是纤芯半径，n₁和n₂分别是纤芯和包层的折射率，NA是光纤的数值孔径，Δ是纤芯和包层的折射率差

由式（2.2.14）可知，V参数与光纤的几何尺寸（芯径）2a有关，所以称为归一化纤芯直径，或简称为归一化芯径；另一方面，V参数又与波长成反比，具有频率的量纲，所以又称为归一化频率，同时又与光纤波导折射率n₁和n₂有关，因此它是描述光纤特性的重要参数。

引入归一化传播常数b，它与传播常数（群速度）β=β_lm的关系是

式中，传播常数（相速度）k=2π/λ，n₁和n₂分别是纤芯和包层的折射率。因为LP模的传播常数β_lm取决于波导特性和光源波长，因此仅用与V参数有关的归一化传播常数b，描述光在波导中的传输特性是非常方便的。

图2.2.8表示几种低阶线性偏振模（LP）的b与V的关系。由图可见，基模LP₀₁对所有的V数都存在，所以LP₀₁在任何光纤中都能存在，是永不截止的模式，称为基模或主模。而LP₁₁在V=2.405截止。对于每个比基模高的特定的LP模，总有一个对应于截止波长的截止V数。给出光纤的V参数，从图2.2.8中很容易找到对于允许在波导中存在的LP模所对应的b，接着按式（2.2.16）就可以求得β。

当V<2.405时，只有一种模式即基模LP₀₁通过光纤芯传输，当减小芯径使V数进一步减小时，光纤仍然支持LP₀₁模，但该模进入包层的场强增加了，因此该模的一些光功率被损失掉。这种只允许基模LP₀₁在要求的波长下传输的光纤称为单模光纤。通常单模光纤比多模光纤具有更小的纤芯半径a和较小的折射率差Δ。

当V＞2.405时，假如光源波长λ减小得足够小，单模光纤将变成多模光纤，高阶模也将在光纤中传输。因此光纤变成单模的截止波长λ_c，由V_cut-off=（2πa/λ_c）（-）1/2=2.405得出

当V>2.405时，模数增加得很快。在阶跃折射率多模光纤中能够支持的模式数量N可用式（2.2.18）表示

例如，一个a=25μm，Δ=5×10-3的典型多模光纤，在λ=1.3μm处，当V=18时，N=162；当V=5时，N=12.5。当V小于一定数值时，除LP₀₁（HE₁₁）外，其他模式均截止，只传输单个模式，这种光纤就是单模光纤。

改变阶跃折射率光纤的各种物理参数可能对传输模数量的影响可从式（2.2.14）推断出来，例如，增加芯径a或者折射率n₁可增加模数V；另一方面，增加波长λ或者包层折射率n₂可以减少模数。式（2.2.14）不包含包层直径，这说明它在各导模的传输中没有扮演重要的角色。在多模光纤中，光通过许多模传输，并且所有模主要局限在芯内传输。在阶跃折射率光纤中，一小部分基模场将进入包层传输。假如包层没有足够厚，这部分场将到达包层的最外边并泄漏出去，发生光能量的丢失，如图2.2.1所示。因此，通常阶跃单模光纤的包层直径至少是纤芯直径的10倍。

V和β均是一个无量纲参数。光波在光纤中传播的条件是，在纤芯要把光能量尽量约束在纤芯中传输，在包层光场是消逝（Evanescent）波（见1.3.1节），即r→∞时，场强衰减为零。这就要求传播常数在纤芯要满足β<（n₁ω）/c，在包层要满足β>（n₂ω）/c，因此，光纤中传导模存在的条件是使传播常数β满足

根据以上的定义，最小的归一化传播常数b=0，对应β=kn₂，即在包层中传输；最大的归一化传播常数b=1，对应β=kn₁，即在纤芯中传输。对于各种传导模，b与V的关系在相关文献中已经计算出来。

1.3.5节已介绍了TE模、TM模和HE模，在光纤波导中，TE模和TM模传播常数十分接近，具有相同的等效折射率和相同的传输速度。HE₁₁模就是由这两种偏振态相互正交的TE模和TM模叠加组成，称为兼并模，这就是基模LP₀₁。

【例2.2.1】多模光纤模式数量计算

纤芯折射率为1.468，直径为100μm，包层折射率为1.447，假如光源波长为850nm，请计算阶跃折射率多模光纤所允许传输的模式数量。

解：将a=50μm、λ=0.850μm、n₁=1.468和n₂=1.447代入V数表达式

因为V≫2.405，模数是N≈V2/2=91.442/2=4181。

【例2.2.2】单模光纤芯径计算

纤芯折射率n₁=1.468，包层折射率n₂=1.447，假如光源波长为1300nm，请计算单模光纤的芯径是多少。

解：当V≤2.405时可实现单模传输，于是

或者

从中解得a≤2.01μm，所以这样细的芯径，对于光纤与光纤的耦合或者光源与光纤的耦合都是相当困难的，必须采用特别的技术才行。请注意芯径已能够和光源波长相比拟，所以几何光学已不能在这里使用。

【例2.2.3】多模光纤数值孔径、最大可接收角和支持的模式数量

阶跃光纤纤芯和包层的折射率分别是1.480和1.460，纤芯半径为50μm，光源波长为0.85μm。请计算光从空气射入光纤的数值孔径、最大可接收角和所能支持的模式数量。

解：光纤的数值孔径是

从sinα_max=NA/n₀=0.2425/1，得到最大可接收角是α_max=14°，总接收角是2α_max=28°。V数是V=(2πa/λ)NA=［(2π×50)/0.85］×0.2425=89.62。模式数量N≈V2/2=4016。

【例2.2.4】单模光纤数值孔径、最大可接收角和截止波长λ_c计算

典型单模光纤的纤芯直径是8μm，折射率是1.46。归一化折射率差是0.3%，包层直径是125μm，光源波长为0.85μm。请计算光纤的数值孔径、最大可接收角和截止波长λ_c。

解：光纤的数值孔径是

用（n₁-n₂）=n₁Δ和（n₁+n₂）≈2n₁代入上式可得到数值孔径为

NA=［(2n₁)(n₁Δ)］1/2=n₁(2Δ)1/2=1.46×(2×0.003)1/2=0.113

最大可接收角sinα_max=NA/n₀=0.113/1，即α_max=6.5°。

单模传输的条件是V≤2.405，对应的截止波长是

λ_c=2πaNA/2.405=(2π×4μm)×0.113/2.405=1.18μm

所以，光源发射波长小于1.18μm将导致多模工作。

2.2.4 单模光纤的基本特性

1.基模传输条件

由2.2.2节的分析可知，单模光纤的传输条件是归一化芯径（频率）

此时其他模式的光波均被截止，只有线偏振模LP₀₁模在光纤中传输，它是光纤的主模。V值由式（2.2.14）确定。利用式（2.2.14）可以估计单模光纤在1.3～1.6μm波长范围内的纤芯半径a。取λ=1.2μm，n₁=1.45，Δ=5×10-3，则当a=3.2μm时，即能满足V＜2.405。若Δ=3×10-3，则纤芯可增至a=4μm。实际上大多数单模光纤设计在a≈4μm，欲使光纤在可见光谱区也能在单模条件下工作，则a应减小一半。

2.场结构和模式兼并

当Δ远远小于1时，场的轴向电场分量E_Z和磁场分量H_Z很小，因而弱导光纤中HE₁₁模近似为线偏振模，并记为LP₀₁，它有两个沿x方向和y方向的偏振模，它们具有相同的传播常数（β_x=β_y）和截止频率V（V=2.405），因此LP₀₁模包括两个正交的线偏振模和，在理想光纤的情况下，它们相互兼并在一起。

3.双折射效应和偏振特性

正交偏振模的兼并特性只适用理想圆柱形纤芯的光纤。在1.3.4节中，已对光在各向异性介质中传输时产生的双折射进行了介绍。实际上，光纤的纤芯形状沿长度难免出现变化，光纤也可能受非均匀应力使圆柱对称性受到破坏，两个模式的传播常数β_x≠β_y，所以光纤波导也是一种各向异性介质波导，也存在双折射，使光纤正交偏振兼并的特性受到破坏。

在常规单模光纤传输系统中，双折射效应产生如图2.3.9表示的偏振模色散（PMD），它对模拟有线电视（Community Antenna Television, CATV）系统和高速长距离系统有重大影响。

4.模场半径

由2.2.2节可知，单模光纤中的场强大部分局限在纤芯直径2a中，但是仍然有一部分泄漏到包层中，设泄漏到包层的深度是δ，如图2.2.7b所示，因此单模光纤的纤芯直径对于描述场强的分布已没有多大意义，而改用模场半径（w）来描述基模场强在空间的分布，场强在波导中的分布用模场直径（Mode Field Diameter, MFD）2w=2a+2δ表示

即

一般将场强作为高斯分布来近似计算模场半径，归一化模场半径w/a可用归一化芯径V来表示。假如V＜2.405，由图2.2.8可知，除LP₀₁模外其余的模全部被截止了。

【例2.2.5】单模截止波长、V参数和模场直径

纤芯直径为7μm、折射率为1.458，包层折射率为1.452，当光源波长为1.3μm时，计算光纤单模工作的截止波长、V参数和模场直径。

解：对于单模工作，有

将a=3.5μm、n₁=1.458和n₂=1.452代入上式，整理后得到

λ>［2π(3.5μm)(1.4582-1.4522)1/2］/2.405=1.208μm

当波长小于1.208μm时，将导致多模传输。在λ=1.3μm时

V=2π［3.5μm/1.3μm］(1.4582-1.4522)1/2=2.235

此时模场直径是

2w_o≈2a(V+1)/V=(7μm)(2.235+1)/2.235=10.13μm