MATLAB 2020信号处理从入门到精通
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4.2 短时傅里叶变换

短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform，STFT）常用于缓慢时变信号的频谱分析，可以观察沿时间变化的频谱信号。弥补了频谱分析中不能观察时间的缺点，也弥补了时域分析不能获取频率的缺点。

经STFT处理后的信号具有时域和频域的局部化特性，可以借助其分析信号的视频特性。设计思路如下。

1）窗函数选择hamming窗，最大DFT点数不大于256。

2）用户输入（传值）signal、window、overlap、N、fs等。根据窗的长度截取响应长度的信号序列，然后二者对应的点逐点相乘，得到的数即为加窗截取后的值。之所以需要乘以窗函数，是因为如果直接截取信号，会使得截取的信号出现突变（波形上表现为直角），经过变换后会出现无限谐波影响截取后FFT的效果。

3）根据窗的大小，将signal拆分，并与窗函数相乘。

4）对每个signal片段进行N点FFT，并求出能量谱密度。

5）调用绘图方法，把能量谱密度（功率谱密度）用不同的颜色表示出来绘图。

4.2.1 短时傅里叶变换与谱分析

STFT是和傅里叶变换相关的一种数学变换，用以确定时变信号其局部区域正弦波的频率与相位。利用短时傅里叶变换（STFT）分析非平稳信号的频率内容随时间的变化规律。

STFT基本原理可以理解为对一段长信号，截取每一段时间的短信号做FFT，将得到的频谱图时间沿时间轴排列，即可得到时频的云图。

STFT是一种基于窗函数的变换，一般来说，短窗能够提供较好的时域解析度，长窗能够提供较好的频域解析度。STFT就是将原来的傅里叶变换在时域截短为多段，分别进行傅里叶变换，每一段记为时刻ti，对应FFT求出频域特性，即可粗略估计出时刻ti时的频域特性（也就是同时知道了时域和频域的对应关系）。用于信号截短的工具叫作窗函数（宽度相当于时间长度），窗越小，时域特性越明显，但是此时由于点数过少导致FFT降低了精确度，导致频域特性不明显。

离散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform，DTFT）的数学公式如下所示。

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式中，x（n）为在采样数n处的信号幅度。ω的定义如下。

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STFT被计算为一系列加窗数据帧的快速傅里叶变换，其中窗口随时间“滑动”（slide）或“跳跃”（hop）。

在MATLAB中，stft命令用来对信号进行短时傅里叶变换，它的使用格式见表4-14。

表4-14 stft命令的使用格式

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（续）

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例4-10：创建信号STFT。

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解：MATLAB程序如下。

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运行结果如图4-10所示。

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图4-10 信号STFT运行显示结果

在MATLAB中，istft命令用来对信号进行短时傅里叶逆变换，它的使用格式见表4-15。

表4-15 istft命令的使用格式

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例4-11：创建信号STFT和ISTFT变换。

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解：MATLAB程序如下。

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运行结果如图4-11所示。

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图4-11 信号STFT和ISTFT变换的显示结果

4.2.2 短时傅里叶变换谱图

信号的STFT是最早提出的一种时频二维表示方法，简单易实现，许多联合时频分析的应用都是由它开始的。在各种实际应用中也常采用它的能谱分布表示方法，也就是基于短时傅里叶变换的谱图表示。

谱图具有非线性性质，对于多分量信号将产生类似于Wigner分布中的交叉项干扰，从而引入了模糊，影响信号分析结果。

1.频谱图

在MATLAB中，spectrogram命令用来进行短时傅里叶变换，得到信号的频谱图，它的使用格式见表4-16。

表4-16 spectrogram命令的使用格式

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例4-12：绘制信号的短时傅里叶变换谱图。

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解：MATLAB程序如下。

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运行结果如图4-12所示。

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图4-12 短时傅里叶变换谱图显示结果

例4-13：对比窗函数与长度对信号的短时傅里叶变换谱图。

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解：MATLAB程序如下。

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运行结果如图4-13所示。

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图4-13 两种信号的短时傅里叶变换谱图对比

对于短时傅里叶变换，最重要的还是窗口长度的选取。当频域刻度和平移步长足够密时，增加的只是生成图像的大小，但是物理层面的分辨率却没有改变。改变物理层面分辨率的是窗口长度。

窗口长度较大（如2048），频率能够清晰地显示出来，但是时间上有些模糊。窗口长度比较小（如256），时间上的分界线能够清晰显示，但是频率的值却不能清晰读出。

例4-14：对比重叠样本数对的短时傅里叶变换谱图的影响。

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解：MATLAB程序如下。

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运行结果如图4-14所示。

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图4-1 重叠样本数对谱图的影响

例4-15：显示短时傅里叶变换单边与双边谱图。

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解：MATLAB程序如下。

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运行结果如图4-15所示。

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图4-15 信号傅里叶变换频谱图

2.交叉谱图

在MATLAB中，xspectrogram命令用来进行短时傅里叶变换，得到信号的交叉谱图，它的使用格式见表4-17。

表4-17 xspectrogram命令的使用格式

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例4-16：创建对称凸二次Chirp波形。

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解：MATLAB程序如下。

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运行结果如图4-16所示。

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图4-16 对称凸二次chirp波形显示结果

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