4.3 频谱估计
广义上，信号频谱是指组成信号的全部频率分量的总集；狭义上，常将一般的频谱测量中随频率变化的幅度谱称为频谱。
4.3.1 信号频谱类型
频谱是频率谱密度的简称，是频率的分布曲线。复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡，这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫作频谱。频谱将对信号的研究从时域引入到频域，从而带来更直观的认识。
频谱有两种基本类型：离散频谱（线状谱），各条谱线分别代表某个频率分量的幅度，每两条谱线之间的间隔相等；连续频谱，可视为谱线间隔无穷小，如非周期信号和各种随机噪声的频谱信号随着时间变化，且可以用幅度来表示，都有其对应的频谱。可见光（颜色）、音乐、无线电波、振动等都有这样的性质。当这些物理现象用频谱表示时，可以提供一些此信号产生原因的相关信息。例如，针对一个仪器的振动，可以借由其振动信号频谱的频率成分，推测振动是由哪些元件造成的。
谱一般是表示某种物理量数值与频率关系的一张图。常见的信号被表述成为一个随时间变化的物理量f（t），其等价的频域上的方程F（w）表示了该物理量在频域上的特征。时域和频率上的关系可以通过傅里叶分析和傅里叶变换来研究。
傅里叶变换，时域到频域，其变换方程可以定义为
同时反傅里叶变换，频域到时域上的变换可以表示为
帕塞瓦尔定理揭示了时域和频域上的能量关系，其公式如下。
该定理说明了信号f（t）的总能量等于其傅里叶变换后频域上的面积积分。|F（f）|2一般被称作能量密度、谱密度或功率谱密度函数，描述了其在微分频带f～f+dF上所包含的信号能量。
4.3.2 信号特征参数
1.均值
信号的均值E[x（t）]反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量，表达式如下。周期函数：
2.均方值
信号的均方值E[x2（t）]表达了信号的强度；其正平方根值，又称为有效值（RMS），也是信号平均能量的一种表达。
周期函数：
3.方差
信号的方差反映了信号绕均值的波动程度。
信号x（t）的方差定义为
4.3.3 幅值频谱
幅值频谱表示幅值随频率变化的情形，在MATLAB中，abs命令用于求解信号波形的幅值频谱，该命令的使用格式见表4-18。
表4-18 abs命令的使用格式
1.奈奎斯特频率
为防止信号混叠，需要定义最小采样频率，此频率称为奈奎斯特（Nyquist）频率，奈奎斯特频率是离散信号系统采样频率的一半，即Nyquist频率为f=fs/2。整个频谱图是以Nyquist频率为对称轴的，根据FFT变换数据的对称性，用FFT对信号做谱分析，只需考察0～Nyquist频率范围内的福频特性即可。
进行FFT分析时，幅值大小与FFT选择的点数有关。要得到真实的振幅值的大小，因为幅度是对称的，所以将得到的变换后的采样时间、采样点数取一半。
f=fs∗（0：N/2）/N
例4-17：演示采样点数对正弦波函数信号的傅里叶变换的影响。
解：MATLAB程序如下。
运行结果如图4-17所示。
图4-17 采样点对正弦波信号傅里叶变换的影响
2.双边谱与单边谱
单边、双边频谱间的相互转换是信号处理中的一个基本运算。
（1）双边谱的幅度
FFT变换后得到的是一个双边谱，并且所得到的幅度与真实值相差1/N，N是做FFT的信号采样数。
p2_y_fft=abs（y_fft/N）
（2）单边谱的幅度
实际上，双边谱是由单边谱除以2所获得频谱，然后正负对称频率叠加到一起，而零频率不需要除以2。
p1_y_fft=p2_y_fft（1：N/2+1）
p1_y_fft（2：end-1）=2∗p1_y_fft（2：end-1）
例4-18：创建正弦波形的单边频谱与双边频谱。
解：MATLAB程序如下。
运行结果如图4-18所示。
图4-18 正弦波形的单边和双边频谱显示结果
4.3.4 相位频谱
相位频谱表示相位随频率变化的情形。在傅里叶分析中，把各个分量的幅度|Fn|或Cn随着频率nω1的变化称为信号的幅度谱。而把各个分量的相位φn随角频率nω1的变化称为信号的相位谱。在MATLAB中，abs命令也可以用于求解信号波形的相位谱。
例4-19：绘制y=sin（2∗pi∗50∗t）的相位谱。
解：MATLAB程序如下。
运行结果如图4-19所示。
图4-19 正弦函数相位频谱显示结果
例4-20：创建余弦波FFT相位谱。
解：MATLAB程序如下。
运行结果如图4-20所示。
图4-20 余弦波FFT相位谱显示结果
4.3.5 信号频谱
频谱是频率谱密度的简称，是频率的分布曲线。在数学上，概率密度函数表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。
定义概率密度函数为p（x）
概率密度函数以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。概率密度函数随所取范围的幅值而变化，如图4-21所示。
图4-21 概率密度函数
概率分布函数是信号幅值小于或等于某值R的概率，其定义为
概率分布函数又称为累积概率，表示了落在某一区间的概率，典型信号的概率密度函数和概率分布函数如图4-22所示。
频谱将对信号的研究从时域引入频域，从而带来更直观的认识。把复杂的机械振动分解成的频谱称为机械振动谱，把声振动分解成的频谱称为声谱，把光振动分解成的频谱称为光谱，把电磁振动分解成的频谱称为电磁波谱，一般常把光谱包括在电磁波谱的范围之内。
图4-22 典型信号的概率密度函数和概率分布函数
a）正弦波 b）方波 c）三角波 d）白噪声
功率谱是非平稳信号，是频率随时间变化的信号，功率谱图非平稳信号的估计是对其频率内容的时间演化的估计。
持续谱是一个在工频空间中的直方图。随着信号的发展，特定频率在信号中持续的时间越长，其时间百分比就越高，因此显示器中的颜色就越亮或越“热”。人们通常使用持久谱来识别隐藏在其他信号中的信号。
在MATLAB中，pspectrum命令用来分析信号的频域和时频域，生成光谱、功率谱和持续谱，它的使用格式见表4-19。
表4-19 pspectrum命令的使用格式
（续）
例4-21：光谱泄漏对正弦信号频谱的影响。
解：MATLAB程序如下。
运行结果如图4-23所示。
图4-23 光谱泄漏对正弦频谱的影响
例4-22：信号功率谱单边谱与双边谱。
解：MATLAB程序如下。
运行结果如图4-24所示。
图4-24 信号功率谱单边谱和双边谱的对比
例4-23：创建对称凸二次Chirp波频谱。
解：MATLAB程序如下。
运行结果如图4-25所示。
图4-25 对称凸二次chirp波频谱
例4-24：创建信号的谱图。
解：MATLAB程序如下。
运行结果如图4-26所示。
图4-26 创建信号谱图
例4-25：创建信号的谱图和重分配谱图。
解：MATLAB程序如下。
运行结果如图4-27所示。
图4-27 创建信号的谱图和重分配谱图
4.3.6 功率谱定义
信号的传播都是看不见的，但是它以波的形式存在着，这类信号会产生功率，单位频带的信号功率称为功率谱，它可以显示在一定的区域中信号功率随着频率变化的分布情况。
对确定性的信号，特别是非周期的确定性信号，常用能量谱来描述。对随机信号，无法用确定的时间函数来表示，也就无法用频谱表示，往往用功率谱来描述它的频率特性。
功率谱是功率谱密度函数的简称，是单位频带内的信号功率。它表示了信号功率随着频率的变化情况，即信号功率在频域的分布状况。功率谱表示了信号功率随着频率的变化关系。功率谱常用于功率信号的表述与分析，其曲线一般以频率为横坐标，功率为纵坐标。周期性连续信号x（t），x（t）的频谱可以表示为离散的非周期序列xn，它的幅度频谱的平方|xn|2所排成的序列称为该信号的功率谱。
功率信号f（t）在时间段t∈[-T/2，T/2]上的平均功率可以表示为
如果f（t）在时间段t∈[-T/2，T/2]上可以用fT（t）表示，则fT（t）的傅里叶变换为FT（ω）=F[fT（t）]，其中F[]表示傅里叶变换。
当T增加时，FT（ω）以及|FT（ω）|2的能量增加。当T→+∞时，fT（t）→f（t），此时|FT（ω）|2/2πT可能趋近于一极限，如果该极限存在，其平均功率亦可以在频域表示，即：
定义|FT（ω）|2/2πT为f（t）的功率谱密度函数，或简称为功率谱，其表达式如下。
功率谱密度从物理意义上来讲就是单位频率内的信号能量（相当于功，单位是kJ），在时域中，功率=功/时间，在频域中，功率=功/频率，功率谱密度曲线下的面积是信号的总能量，而信号的总能量是对所有幅值求平方和。
功率谱指单位频率的信号功率，记为P（@）。
在频带df内信号的功率为P（o）df，因而信号在整个频率范围的总功率
因此
维纳—欣钦关系式R（τ）←→P（ω）。
因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换，所以功率谱为
4.3.7 能量谱
对于任意的时间信号x（t），这个信号可以是任意随时间变化的物理量，在对信号进行能量分析时，不加区分地将其视为施加的阻值是单位电阻，即R=1Ω的电阻上的电流。基于此，这个单位电阻的能量属性，就视为这个信号的能量属性。
所以，信号的总能量W就是：
如果信号是能量信号，通过傅里叶变换，就很容易分离不同频域分量所对应的能量，频率ω对应的能量为dW=|X（ω）|2d（ω/2π），对ω积分就能得到信号的总能量，由此，|X（ω）|2就定义为能量谱密度，也常简称为能量谱，意为能量在某个频率上的分布密集度，量纲是[U]2.sec/Hz或[U]2.sec/（rad/sec），[U]是x（t）的量纲。
能量谱与功率谱分别是针对能量有限的信号和功率有限的信号。在进行信号的谱分析时一定更要分析信号是一个能量信号还是一个功率信号，应用不同的谱进行分析会使问题的解决思路更加明确。
能量信号又称能量有限信号，是指在所有时间上总能量不为零且有限的信号。能量信号频谱通常既含有幅度也含有相位信息；幅度谱的平方又叫能量谱（密度），它描述了信号能量的频域分布。
能量谱指单位频率的信号能量，记为E（ω）。
在频带df内信号的能量为E（ω）df，因而信号在整个频率范围的总能量
由帕塞瓦尔关系可得E（ω）=|F（jω）|2
能量谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。
对于能量信号，常用能量谱来描述。所谓的能量谱，也称为能量谱密度，是指用密度的概念表示信号能量在各频率点的分布情况。也就是说，对能量谱在频域上积分就可以得到信号的能量。能量谱是信号幅度谱的模的平方，其量纲是J/Hz。
功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换，称为维纳—欣钦（Wiener-Khintchine）关系。
4.3.8 功率谱密度
功率谱密度（PSD）定义了信号或时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，为了便于表示，抽象的信号被定义为信号数值的平方，可表示为P=S（t）2。由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下没有傅里叶变换。幸运的是维纳—欣钦定理提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。
在MATLAB中，cpsd命令用于计算信号的交叉功率谱密度，该命令的使用格式见表4-20。
表4-20 cpsd命令的使用格式
（续）
例4-26：创建信号交叉功率谱。
解：MATLAB程序如下。
运行结果如图4-28所示。
图4-28 信号交叉功率谱显示结果
例4-27：分析余弦信号交叉功率谱。
解：MATLAB程序如下。
运行结果如图4-29所示。
图4-29 余弦信号交叉功率谱显示结果