3.4　弦的相互作用

前文已经介绍了自由弦，本节将简单介绍一下弦的相互作用和非线性理论。首先回顾场理论的费曼图。对于n-维时空中的无质量标量场，两时空点x和y之间的标准传播子是□，其中□是波动算符，□=。传播子是波动算符的逆，其表达式为

式中，Δ=□，表示波动算符。在(n+1)-维时空中，质量为m的非相对论性粒子的哈密顿量为□/2m。算符exp(-τΔ)在式（3.4.1）等号的右边，是指在固有时段τ传播非相对论性粒子的算符。对此，有一个众所周知的路径积分公式：

式中，指数恰是经典粒子的作用量；表示始于t=0时刻的x点、终于t=τ时刻的y点的所有路径的路径积分。式（3.4.2）等号右边的式子具有简单而直观的意义：在任意固有时段τ，对遍及所有路径x(t)的从x到y传播的粒子进行积分。

现在分析如图3.5所示的费曼图。起始于时空点A、B、C、D的4个外部粒子经历树状散射过程在p、q点处发生相互作用。按照通常法则根据费曼图计算振幅，费曼图中的每一条线对应一个传播子。若用式（3.4.2）表示传播子，则费曼图中的每一条线表示一个积分，遍及某粒子两个时空点之间的传播路径。评估图3.5，要求在相互作用顶点p、q处进行积分，并且考虑顶点的因素。费曼图可看作粒子传播的真实过程，它们在时空中链接或分裂。

3.4.1　弦的分裂

正如点粒子能够分裂成两个一样，弦也能分裂成两个，如图3.6所示。关键的区别是，当一个粒子分裂成两个时，在分裂点发生了时空洛伦兹不变性，该分裂点就是费曼图中的相互作用顶点。然而，当弦分裂成两个时，不存在定义良好的什么时间、什么地点发生了分裂。图3.6（b）中画出了两个不同的洛伦兹框架1和2的等时面，常数时间曲面分别用实线和虚线表示。在框架1中，分裂发生点用实点表示，该点的过去仅存在一个弦，而它的未来存在两个弦。在框架2中，不存在实点，在这个框架中，分裂点就是相互作用发生的点。

这一区别导致了许多结果。首先，点粒子的量子场理论有许多，但是其弦理论不多。由于图3.6中有一个洛伦兹不变的相互作用顶点，在该顶点处我们能够在定义费曼振幅时选择某个特殊因子，特殊因子的选择取决于量子场理论的选择。对于自由弦的传播，一旦决定了自由弦的传播规则，就不存在额外选择。

为什么弦理论不受紫外发散的影响，却总是给量子理论带来麻烦呢？在图3.7中我们已经勾勒出单-循环费曼图，它在量子引力中将有紫外发散，并且对应闭弦的弦理论图。如图3.7（b）所示的弦理论图不同于如图3.7（a）所示的场理论图。后者的每条世界线或点粒子的传播都被传播闭弦的世界管所取代。两图在传播点或弦的时空中通过对轨迹积分求值。只要图3.7（b）中的弦有一个非常小的留数，其就可近似简化为图3.7（a）。这就解释了场理论为什么会成为弦理论的长波长极限。

为什么图3.7（a）存在紫外发散而图3.7（b）不存在呢？关键原因是，图3.7（a）中具有完美定义的相互作用顶点，标示为p、q、r和s，当p=q=r=s时传播子涉及的顶点同时爆裂，紫外发散出现。而在如图3.7（b）所示的弦理论图中，不存在定义良好的相互作用顶点，所以不存在类似的危险。

场理论图和弦理论图的又一个基本区别是，存在的弦理论图的数量少得多。对每个场理论图都有一个对应的弦理论图，它们由世界线吹胀而成的世界管构成。但是不同的费曼图可给出相同的弦理论图。事实上，在定向闭弦理论中，有且仅有一个费曼图。图3.8对应于以下事实：定向二维流形完全通过手柄（或圈）数和孔洞（或外部粒子）数来指定。开弦或无定向闭弦弦理论图比费曼图要少得多。

3.4.2　顶点算符

评估图3.9中任意一个弦世界片上的积分似乎很难，进行这项工作的理论根据是式（3.3.15）在世界片度规共形尺度下的不变性。

选择适当的ϕ，图3.10（a）中的世界片由导管伸延到遥远的过去和未来，对应于入射弦和出射弦能够转换成图3.10（b），其中世界片是紧致的。在相同的时间内弦世界片中的孔对应于外部的态闭合，并且外部弦像点一样出现，如图3.10（b）所示。

共形不变性使得计算弦理论图是可以做到的。此外，这使得压缩世界片成为可能，关闭进出粒子相应的孔即可。图3.10（a）中，外部弦态由此投影到点，表示为图3.10（b）中的，这些点必须理解为局域算符的插入。

考虑世界片最简单的情况，即仅有入射弦和出射弦各一个，由如图3.11（a）所示的圆柱描述，其度规为

令，则有。由共形变换得到一个新的度规，即，这是一个平面度规。从效果上来看，入射弦在遥远的过去是圆（z→-∞，），在有限距离内（r=0）被映射为一个点，如图3.11（b）所示；出射弦被映射到无限远点。若想把入射弦和出射弦映射在有限距离处，则必须选共形因子不是，但对于小r其行为像r2，对于大r其行为像r-2。如果我们用共形因子重新标度度规ds2，则新度规是球体上的标准圆度规，入射弦和出射弦都映射到有限远点，即图3.11（c）中的“南极”和“北极”。对于具有许多外线的更复杂的弦理论图，共形因子可以把它们中的每一个都映射到有限远点。事情的本质是映射一个给定的入射弦或出射弦L到有限远点，仅远离L的的渐进行为是相关的。

如图3.11（a）所示，入射弦和出射弦的世界片可以描绘为不同图形的共形映射，它可以映射到平面上，如图3.11（b）所示，入射弦在原点处而出射弦在无限远点处；或者映射到球面上，如图3.11（c）所示，入射弦和出射弦分别映射在“南极”和“北极”。如果我们把外弦态共形地映射到有限远点，其量子数将不再简单地丢失。在每一点，图3.10中的都表示外部弦被映射到的地方，必然出现某个弦态的量子数的局域算符。于是，我们产生下述想法：对每个弦态，必须找到(1+1)-维量子场理论的局域算符，而量子场理论描述弦的传播。局域算符相当于一个给定的弦态，这种局域算符对于弦的发射和吸收叫作顶点算符。

猜想一下闭弦中的顶点算符。首先，在闭弦理论中，对每种粒子类型Λ，局域算符在参量σ和τ下是标量且具有同样的洛伦兹量子数Λ，是及其导数的多项式。例如，若Λ是自旋为零的超光子，则在26-维洛伦兹变换下，可简单地令W=1；若Λ是引力子，则必须选W的自旋为2，最小自旋为2的算符对极化为μν的引力子是，该算符的规范序及其他情况将被假定而不再明确表示；若Λ是自旋为0的无质量伸缩子，则必须再次选取自旋为0的算符，正交于超光子算符的最小选择是。是定义在洛伦兹变换下的正确变换，但也要考虑时空变换。在球对称变换下，每个弦的位置由常数决定，动量为的外部态的波动方程要乘以。于是，假定这个因子是当前关于动量为的弦的发射和吸收。另外必须注意，图3.11中在给定的顶点算符上的点处标示表示是被插入的，可以在表面的任何地方出现。把这些事实放在一起，对于动量为、类型为Λ的弦态的发射和吸收可得出顶点算符的定义为

3.4.3　顶点算符的应用

如何使用粒子的顶点算符呢？图3.12中动量为、类型为的散射粒子的散射振幅应是(1+1)-维量子场理论中的一个路径积分，该量子场理论以插入的算符来控制弦的传播。这些振幅是（令T=1/π）

式中，k是耦合常数；符号和表示图3.10中紧致的弦世界片的路径积分。我们需要一个拓扑球面，用来评估树图；或者一个环面，用来评估单圈图；或者一个具有几个手柄的面（黎曼面），用来评估n-圈图。

我们可以将式（3.4.4）与如图3.7（b）所示的弦理论图严格地联系起来，这项工作将在后面的章节进行。实际上，在弦理论的第一种方法中，读者可以简单地把式（3.4.4）看作弦的散射振幅的定义。当前，我们不知道弦理论的何种形式是更基本的，也不知道顶点算符公式［式（3.4.4）］是否优越。

式（3.4.4）似乎是一个相当惊人的公式。在式（3.4.4）中，26-维时空中的散射振幅用辅助的(1+1)-维世界片中的相关函数表示。量子场的相关函数在(1+1)-维场理论中很可能与(1+1)-维世界片中的散射过程有关。它们可解释为26-维时空中的散射振幅。弦世界片上发生的现象和时空中发生的现象十分类似，这是弦理论中令人惊奇的神秘关系之一。

若没有之前讨论的共形不变性，评估式（3.4.4）将无法进行。2×2的对称张量h有3个独立分量。通过世界片的再参量化，能消除这3个分量中的任意2个。人们能够局域地通过的再参量化把h放到中，其中是弦世界片中任一需要的度规。根据黎曼经典理论，在世界片是球形的情况下，树图也可按此处理。现在，我们将集中精力考虑这种情况。

刚才提到的定理保证了通过参数的选择能够写出，这里是球面上的标准圆度规。实际上，使用共形不变性在x-y平面上做球的立体投影更方便，如图3.13所示。于是在效果上我们可选，，其中x和y是平面坐标。此外，按照共形不变性的优点，退出式（3.4.4），故式（3.4.4）可简化为

我们要研究的重点是2-维平面上的自由场理论，所以我们期望能够评估式（3.4.5）。

这里我们仅注意结果：共形不变性及式（3.4.5）的推导（仅在26-维时空中）。

迫在眉睫的是，要求，并非唯一地修复再参量化不变性。这种形式的h被世界片s2的整体共形不变性保留下来。有关的共形不变性很容易写作z=x+iy的形式。在这种复坐标形式中，世界片度规是。若对某个解析函数ω(z)改变z坐标，则，度规变成，它仍是共形规范的。这些是坐标变换，它们是规范选择所允许的。

于是，剩余的规范不变性是微小变换，其中是z的解析函数。实际上不是z的任意解析函数，因为虽然我们对复Z平面进行了一次立体投影，但弦世界片本来是球面s2——可视作黎曼球组成的Z平面加一个“无穷远点”。这就需要一个无穷小坐标变换，其在无穷远点没有极点。在新坐标形式中实施比较方便，该形式中的无穷远点是一个正常点，即原点。坐标变换在新坐标系中变成。在点是非奇异的，当且仅当对z→∞时有限。因此，ε必须是二次多项式，余下的对称性不再因为共形规范的选择而移动，共形规范的形式是，其中a、b、c是任意3个复参量。

3.4.4　散射振幅的评估

若外部粒子是超光子，则对，要评估式（3.4.5）并不困难。这时式（3.4.5）可简化为

式中，<　>表示关于高斯测度的期望值，而高斯测度是由式（3.4.5）中展示的自由场路径积分定义的。为了评估式（3.4.6），回忆关于高斯积分的标准公式（由完全平方得到）：

式中，是一个任意的源；是自由场的传播子（或生成元）。在的特殊情况下，式（3.4.6）可简化为

由于正则序，式（3.4.8）中不包括i=j的项，其生成子是关于二维拉普拉斯方程的格林函数，满足：

式（3.4.9）的解是

式中，μ是任意红外截断，是处理q=0处的发散所需要的。由式（3.4.8）得

在未知的耦合常数中，依赖因子μ已经被吸收。

式（3.4.11）非常接近散射振幅的最终形式。它表示M点的振幅不像路径积分，而像遍及有限个变量的积分，在点zi（i=1,2,…,M）的外部，弦被附着在世界片上。然而，式（3.4.11）中的积分是无限的。关于无限的理由是，在推导式（3.4.11）时使用的库仑规范并未完全删除再参量化不变量，而是留下了一个剩余的对称性，其中。由于未能消除这种残留的不变性，式（3.4.11）的积分中包含一个遍及无限体积的群SL(2,C)。余下的库仑规范容易进行。SL(2,C)的3个复参数可设置为zi的任意3个希望的值。选比较方便。当时，式（3.4.11）中的项可被删除。这样做的理由是，当时这些项将独立于zj（j），而且它们也是动量独立的，因为（应用动量守恒原理）：

式中，m2是基态的质量平方。不久我们将会看到，SL(2,C)不变量要求m2=-8。我们将丢弃这一因子，因为它独立于外部动量，并适当地取消了在SL(2,C)库仑规范中输入的并不重要的法捷耶夫-波波夫行列式。于是散射振幅可简化为

对于四-点函数，式（3.4.13）可简化为

四-点函数由维拉宿首次引入，它是对夏皮罗引入的M-点函数的推广。

3.4.5　引力子的质量

读者会发现，式（3.4.14）在动量的排列下，并不明显地具有对称性。若外部超光子全部在质量壳上，，则经过手工核查发现式（3.4.14）可能是交叉对称的。这是确定超光子质量的一个方法，而早先弦作用量的量子化也给出了同样的答案。理解这一问题的更令人满意的方法是关注式（3.4.8）。在由式（3.4.8）推导式（3.4.14）的过程中，重要的一步是对SL(2,C)进行库仑规范。如果SL(2,C)对称性确实有效，则式（3.4.8）将交叉对称。为了确保式（3.4.14）交叉对称，SL(2,C)不变量中必须不存在奇异性。

SL(2,C)对称性的一个方面是，积分的顶点算符应该是SL(2,C)不变性。毕竟，SL(2,C)变换是世界片再参量化的一种特殊情况，而V描述了从世界片的任何地方发射和吸收的振幅在再参量化之下应该是不变的。SL(2,C)变换的特殊情况是世界片z→tz（或无穷小δz→bz）的整体变形。当积分测度捡起时，如果与一起变换，那么V将可以是不变的。意思是说，量子场算符应当是维数为2的算符。这似乎是不可能的，因为库仑规范的整体尺度不变的弦作用量要求无量纲。若X无量纲，则也无量纲。唯一的希望是，找到的一个合适的量子异常维数。在自由量子场中寻找异常维数是不寻常的，但是对于(1+1)-维自由无旋场，确实发生了。确定算符异常维数最快的方法是研究该算符的两-点函数。在尺度不变的理论中，维数为P的算符Y的两-点函数是，其中C为常数。由上面的讨论可知，算符的两-点函数是。由此可知，是一个维数为的算符（要求它具有维数2，这决定了超光速粒子的质量平方是）。事实上，M-点振幅，即式（3.4.8）在整体尺度变换下不变，假如，并且动量守恒，则。容易证明在同样的条件下式（3.4.8）中全部SL(2,C)不变性成立。

在式（3.4.13）中已经决定的事情是，关于n个超光子散射的振幅有极好的紫外行为。人们更大的兴趣或许是构建具有同样紫外行为的引力子散射振幅。这可以类似方式进行。简单的方法是以引力子算符取代超光子算符，否则就重新进行上面的计算。计算过程中涉及的代数比超光子情况中复杂得多。我们暂不确定引力子的质量。像超光子质量一样，令被积分的顶点算符的整体尺度不变，就可以将引力子质量确定下来。这相当于应该具有维数2。与超光子情况的不同之处在于，由于出现两个导数，已在经典水平上有维数2，因此希望的异常维数为0。因为该算符实际具有异常维数，故。这就是说，引力子质量为0。对于弦理论中自旋为2的无质量粒子，这是确定其质量最有效的方法之一。仿此可以看到，具有的伸缩子，或具有的反对称张量必须是无质量的。于是可得出闭弦理论中无质量粒子的清单，因为没有其他维数为2的算符了。其他可能的顶点算符对应于正质量平方的粒子。例如，自旋为4的粒子Y具有顶点算符，其必须是巨质量粒子，质量平方为。