3.5　弦理论的其他方面

3.5.1　引力的瓦德恒等式

瓦德恒等式是量子场理论中的一条重要法则，它在流代数、QED及非阿贝尔规范理论的重整化中，都是必不可少的。瓦德恒等式的普遍形式是

式中，为自能图；为三角图；p表示外线Muon的动量；q表示外线光子的动量。

广义协变性是构建自旋为2的无质量粒子的自洽理论的依据之一，利用根据广义协变性推导出的公式，不难证明瓦德恒等式。

我们首先回忆场理论中瓦德恒等式的性质。考虑QED中M-点函数关于外部光子的偏振及动量。在QED中，该振幅消失，若光子之一具有由图3.14中的所描述的纵向极化，则。下面对此进行证明。将M-点函数写成关联函数的形式：

式中，是电磁流；T表示时间序列积；< >表示真空期望值。由于电磁流守恒，故有

因为电磁流与其自身交换，我们能够推出T的积，写出：

将式（3.5.3）代入式（3.5.2），并对分部积分，可以得出瓦德恒等式：

在非阿贝尔规范中，瓦德恒等式的构造更复杂，电磁流被杨-米尔斯流取代，虽然仍然守恒，但不再相互交换。因此，在试图从T的乘积中移除导数时，我们得到了额外项，涉及等时交换子的附加项，故具有一个纵向极化矢量的M-点函数，不是零离壳，但是表达成某个非物理的(M-1)-点函数的形式，其中具有纵向极化的外部胶子与由M-点函数表示的另一个粒子缩约在一起，如图3.14（b）所示。要证明(M-1)-点函数消失在壳上，需要进行进一步的分析。

下面介绍类瓦德恒等式在弦理论中是如何产生的。将动量为、极化为的外部引力子插入式（3.5.6）可得式（3.4.14）。

如同在弦散射振幅的评估中所做的，我们已将复Z平面上的弦世界片投影到球极平面上，积分变量是。我们希望证明，若是一个纵向极化张量且，则振幅将消失。考虑被取代的情况，也就是=，其他项也可进行类似处理，可得

利用部分积分法，并丢弃总散度（由于进行了遍及世界片的积分，总散度已经消失），得

在我们正在使用的共形规范中，由(1+1)-维量子场理论的场方程支配弦的传播，即。因此，对具有纵向极化的引力子，若我们在式（3.4.14）的路径积分中使用场方程，则有V=0。在路径积分内部使用运动方程，是类似于QED中要求的步骤，即由于，所以。这时，该步骤在QED中是有效的，在杨-米尔斯理论和弦理论中，情况并非如此简单。特别是在弦理论中，具有嵌入项的路径积分不为0，产生了等时交换子项，类似于杨-米尔斯理论的瓦德恒等式中的那些项。在杨-米尔斯理论中，人们利用某些技术，证明了如果所有其他外线都在质量壳上，则这些等时交换子项消失。在弦理论中，同样的结论也可通过捷径得到。得到等时交换子项并不依赖于整套动力学变量，而仅依赖于其部分变量。例如，通过收缩两条外线（动量）得到等时交换子项，依赖于，而非。一个振幅，仅依赖动力学变量的子集，不具有类雷吉的壳上散射振幅的渐进行为。而在弦理论中，具有这种渐进行为。因此，等时交换子项必须消失。当全部外线在壳上时，刚才的论证称作“取消传播子”论证。更清晰的理由将在第7章给出。

广义相对论遵从广义协变性原理，仅是广义相对论中纵向引力子退耦条件之一。广义相对论意指引力子的极化不仅要遵守，还要遵守。

在弦理论中，这些附加条件是如何形成的呢？问题的实质是，在决定算符

的维数的过程中，我们仅加上了的维数2和的维数。但一般情况下不是这样的。局域算符的乘积的维数并非总是A的维数和B的维数之和。为了定义AB，算符乘积中短距离的奇异性必须被正则序移除。在引力子的顶点算符情况中，，B=，如果，则算符A不存在正则序模糊的问题（由于具有明确的维数2，所以可防止它的正则序模糊）；如果，则算符积AB没有奇异性。若这些条件都满足，则是一个可以接受的顶点算符，前提是。若这些条件不都满足，则对于任何都不可能构造出一个共形不变的顶点算符。这与我们先前讨论的瓦德恒等式一起证明了弦理论如何在广义相对论中遵从广义协变性。

3.5.2　开弦

现在，我们避开闭弦的主体，讨论将类似的想法用于开弦。图3.15中草绘了3个等价的关于开弦散射的树图，图3.15（b）和图3.15（c）表示如图3.15（a）所示的开弦散射的平面世界片可以共形映射到圆盘和上半复平面上，外部开弦作为有限点出现在边界上。在这种形式中，由于外部开弦仅被插入到世界片的边界上，因此其插入形如的算符描述，这里τ是世界片边界上的一个参数。在度规的共形变换下，V的不变量要求U具有维数1，而非维数2。正如我们对闭弦所做的，写成，并且为W选择一个多项式及其导数。对于自旋为0的粒子，可选W=1，这要求，对应质量平方为-2的超光子。对自旋为1的粒子，选，这要求，对应自旋为1的无质量光子。W的其他选择对应于粒子的正质量平方。

对开弦散射振幅的评估类似于对闭弦散射振幅的评估。例如，要评估关于超光子散射的M-点函数，需要将世界片共形映射到上半复平面上，如图3.15（c）所示。用嵌入的表示一个动量为κ的超光子（x遍及实轴），类似于式（3.4.6）和式（3.4.11）的公式是

式中，g是耦合常数。对于闭弦情形，由于世界片共形映射到上半复平面上不是唯一的，故式（3.5.10）需要修改。存留的对称群由上半复平面到它自身的共形映射组成。当z=x+iy时，由生成，其中a,b,c必须是实数，则上半复平面的边界映射到它自身。这些变换生成了群SL(2,R)，其2×2的实矩阵的行列式是1。这个群的3个实参数用来将任意3个积分变量设置为指定的值（就像在闭弦情形下，在散射振幅的积分表达式中群参量和积分变量都是复变量）。

3.5.3　开弦的内部对称性

在修正存留的规范不变性之前，我们先来讨论式（3.5.8）中遍及xi的积分的适当范围。对于闭弦，基础的再参量化不变性不允许我们设置任何限制，在弦世界片上外部闭弦是被插入的。对于开弦，事情很难办。M个外部开弦以某种序1,2,3,…,M出现，世界片的某个转动能把1,2,3,…,M转换成2,3,4,…,M,1，但是决无再参量化能把1,2,3,…,M转换成2,1,3,…,M。于是，在循环序中，外部弦在再参量化时是不变的。这对于定义一个振幅是有意义的。式（3.5.8）中的积分仅遍及的值，对应于给定的循环序。

这一可能性涉及非常重要的物理学知识。不同于闭弦，开弦有两个端点。假设开弦的端点带电荷。例如，对于定向开弦，可以假定在弦的一个端点处存在夸克，另一个端点处存在反夸克，如图3.16（a）所示。引入U(n)对称群，仅作用在夸克和反夸克上，而不在任何其他自由度上，并且假定在U(n)的n和表达中夸克和反夸克分别变换。当弦结合时，要求在图3.16（b）的表示中电荷要匹配。张量积是U(n)的伴随表达，故在开弦一端有夸克，另一端有反夸克，它们在这一表达中变换。因此，其U(n)量子数可由给出的U(n)生成元指定。具体地，该生成元是一个n×n的矩阵，它的i和j指标分别对应于夸克和反夸克的U(n)态。若M个外部弦被附加在循环序为1,2,3,…,M的圆盘上，则图3.16（b）的规则告诉我们，每一个外部弦的反夸克指标要与下一个夸克指标缩约。这一过程表示在图3.16（c）中，群理论因子为

一般地，考虑任一弦的世界片，其边界上可以有一个以上的组件，如图3.16（d）所示。每个边界组件都包含一个群理论因子，它们的积运行在所有开弦上，并嵌入到边界组件中。这些因子如同众所周知的陈-佩顿因子，在闭弦中没有这类因子，尽管内部对称群能够以更微妙的方式出现在闭弦上。这一问题，我们将在以后讨论。

3.5.4　维尼齐亚诺振幅的发散

下面通过式（3.5.8）计算群理论因子的系数，群理论因子为，或计算对应于外线的循环序为1,2,3,…,M的振幅。我们必须清楚残留的SL(2,R)再参量化对称性。做这项工作最方便的方法是，对固定的，应用SL(2,R)的不变性，则对式（3.5.8）进行评估仅涉及上半复平面上自由场传播子的知识，这很容易用图像的方法来决定。在整个复平面上，传播子已经确定，为；在上半复平面上，必须包括一个镜像电荷，以使G满足边界条件，即当z（z=x+iy）为实数，即

时，它对实轴的导数法线消失。式（3.5.12）有解，为，其中是的镜像点，如果，则。在式（3.5.8）中，我们需要的是两个都在实轴上的点之间的生成子，为。考虑到群理论因子，对式（3.5.8）的评估给出：

式（3.5.13）是维尼齐亚诺振幅的科巴-尼尔森M-粒子的推广。对四-点函数，利用（3.5.11）式（3.5.13）可简化为

式（3.5.10）是原先的维尼齐亚诺振幅。带有闭弦和开弦作为外部粒子的弦图如图3.17所示。

3.5.5　与QED的比较

在上述讨论中，我们已经简单地把陈-佩顿因子提出来了，这并没有明显地破坏理论的自洽性。然而，历史上在将弦理论解释为强子理论时陈-佩顿因子曾经扮演了重要的角色。事实上，统一的陈-佩顿对称群被解释为我们现在所说的强相互作用的“味群”。例如，3种“味”，即如果弦端点的夸克有3种类型(u,d,s)，则陈-佩顿对称群是。这里SU(3)对应于八重态的对称。

在这一模型的历史解释中，开弦对应于介子，一个端点是夸克，另一端点是反夸克。“弦”是某种短程力，它支承夸克和反夸克。闭弦是现在被称为胶合球的东西，呈中性态，由将夸克和反夸克容纳在一起的承载力构成。当然，这一模型存在几个问题：第一，存在超光子；第二，不可能明确地引入U(3)对称破缺而无病态；第三，存在麻烦的无质量粒子，其在强相互作用世界中没有同族兄弟姐妹。更有甚者，当我们要解释陈-佩顿对称群中的U(1)因子为重子数时，又令人遗憾地缺乏任何种类的重子或费米子。1971年雷蒙德进行了一项有意义的尝试，他尝试在模型中合并费米子，这导致了超对称、超引力和超弦概念的产生。

弦理论是强相互作用理论，在开弦和介子的现代观点之间存在一个引人注目的类似，即介子作为QED的通量管，一个对紧紧抱在一起。弦理论的提出并非是幸运的意外，这种类似就是强子物理学激发弦理论研究的理由。

QED的大极限中的介子散射由具有夸克的“平面”费米图描述在边界上，如图3.18所示。味矩阵描述介子的味态，个介子以循环序散射的平面振幅，每个夸克与邻接介子的反夸克收缩，因此涉及陈-佩顿因子。

3.5.6　统一性和引力

要系统地阐述相对论量子理论，借助弦理论肯定是一种不同寻常的方法。我们为了计算散射振幅而勾勒出来的规律明显具有洛伦兹不变性，不太明显的是，幺正性将被遵守。在研究幺正性的过程中，人们发现了很多惊喜。其中，空间维度限制为10-维或26-维。

考虑复杂的弦的散射过程，初态为弦1,2,3,…,M，而终态为弦。在试图给出幺正性的证明之前首先要问，对每个给定的弦图，在弦1,2,3,…,M→的过程中产生了哪些中间态？为此，将图形以某种方式切割，如图3.19（a）所示，沿单独的圆从终态分出初态，中间态便包含一个闭弦。由图3.19（a）计算得到的振幅的唯一奇点将是单一粒子（闭弦）的极。这就是该图被称为树图的原因。同样地，如图3.19（b）所示的开弦图的“切割”揭示了一个单独的开弦在中间态的传播。当然，这仅是幺正性讨论的开始，我们将在后继章节继续探讨。

闭弦和开弦的耦合示意图如图3.20所示，由此可知，3个闭弦的耦合和闭弦与两个开弦的耦合相等。

单-循环开弦图可以像图3.21（a）那样切割，以显示处于中间态的两个开弦；也可以像图3.21（b）那样切割，以显示一个单独的闭弦。