3.2.2 博弈均衡分析与求解
1.下层子博弈
在3.2.1节建模的抗干扰Stackelberg功率控制博弈中，干扰作为跟随者需要估计用户的发射功率策略，不精确的估计可能产生观测误差。与文献[25]类似，干扰的观测误差可定义为ε=|P～-P|/P，其中P～表示干扰对用户发射功率的观测值。干扰追求自身效用的最大化，考虑到发射链路信道增益α和干扰功率代价Cj的不确定性，干扰的优化问题可建模为
式中， JM为干扰的最大干扰功率。根据上述优化问题，最佳干扰功率为
对于干扰来说，假设随机变量α和Cj相互独立。随机变量α的 M 个状态分别是α1，…，αm，…，αM，其概率分布为φ1，…，φm，…，φM，并满足
。随机变量Cj的W个状态分别是Cj1，…，Cjw，…，CjW，其概率分布为к1，…，кw，…，кW，并满足
。
通过求解式（3-5）和式（3-6）构成的优化问题，干扰可以获得推论3.1所示的最佳功率策略。
推论3.1：干扰的最佳功率策略为
其中，（.）+□max（.，0）。如果用户的发射功率太小（例如，
，那么干扰功率为0，不再进行干扰。
证明：根据文献[24-25]中的论述，由于满足
因此，干扰的效用函数是干扰功率J的凹函数，式（3-5）和式（3-6）组成的优化问题为一个凸优化问题。基于对偶优化理论[46-147-149]，可以得到最佳干扰策略。首先，通过引入非负对偶变量λ，式（3-5）和式（3-6）所组成优化问题的拉格朗日函数为
拉格朗日对偶函数为
相应的对偶问题为
根据库恩-塔克（Karush-Kuhn-Tucker，KKT）条件，可得
根据式（3-13），可以得到
。由于式（3-5）和式（3-6）组成的优化问题是一个凸优化问题，强对偶条件成立。因此，对偶间隙为零，对偶问题的最优解即为原问题的最优解。
证毕。
2.上层子博弈
考虑到干扰链路信道增益β和用户发射功率代价Cs的不确定性，用户的最佳功率策略可以通过求解下面的优化问题得到。
其中， PM表示用户的最大发射功率， J （P）如式（3-8）所示。用户的最佳发射功率为
对于用户来说，假设随机变量β和Cs相互独立。随机变量β的 R 个状态分别为β1，…，βr，…，βR，其概率分布为ρ1，…，ρr，…，ρR，并满足
。随机变量Cs的H个状态分别为Cs1，…，Csh，…，CsH，其概率分布为g1，…，gh，…，gH，并满足
。
推论3.2：用户的最佳功率策略为
其中，
。
证明：将式（3-8）代入式（3-3），可以得到
其中，
。
根据式（3-18），当满足条件P≤Λ时，用户的效用函数是发射功率P的线性函数。当满足条件P＞Λ时，由于满足
因此，用户的效用函数是发射功率P的凹函数。
通过引入非负对偶变量μ，式（3-14）和式（3-15）所组成优化问题的拉格朗日函数为
类似于下层子博弈的分析过程，可得用户的最佳发射功率为
根据式（3-18），可分以下几种情况进行讨论：
情况1：
。
在这种情况下，满足条件Λ≤Popt。用户效用函数
时获得最大值。
情况2：
。
在这种情况下，满足条件Λ＞Popt。用户效用函数
时获得最大值。
情况3：
。
在这种情况下，满足条件P≤Λ，用户效用函数
是发射功率P的单调递减函数。用户效用函数
时获得最大值。
证毕。
对偶变量λ和μ可通过次梯度法进行更新。
式中，n为迭代次数；
和
均为迭代步长。
3.Stackelberg均衡分析
根据文献[44]，Stackelberg均衡可定义如下。
定义3.1：如果对于P≥0和J≥0，满足条件
那么最佳策略集合（ P*， J*）构成所提博弈的 Stackelberg 均衡（Stackelberg Equilibrium，SE）。
推论3.3：所提抗干扰贝叶斯Stackelberg博弈总是存在一个SE解。
证明：给定一个用户的发射功率策略P，则有以下两种情况。
（1）干扰的策略空间{J∶0≤J≤J M}是欧式空间上的非空凸紧子集。
（2）效用函数
是干扰功率J的连续凹函数。
基于文献[150]中的论述，在下层子博弈中存在一个 NE 解，NE（P）表示在给定用户发射功率P时的最佳响应。定义3.1中的SE可等价定义为
因此，存在P*满足
因而，所提抗干扰贝叶斯Stackelberg博弈总是存在SE解。
证毕。
推论3.4：所提抗干扰贝叶斯Stackelberg博弈存在唯一的SE解。
证明：根据式（3-9），满足条件
。在给定用户发射功率 P 的条件下，干扰的效用函数
是干扰功率J的凹函数。因此，干扰存在唯一的最佳策略NE（P*）。
根据推论 3.2，用户存在唯一的最佳发射功率策略P*。因此，所提的抗干扰贝叶斯Stackelberg博弈存在唯一的SE解。
证毕。