§1.1 集合与不等式
一、集合
1.集合及集合与元素的关系
通常将一定范围内某些确定的、具有某种共同属性（确切含义）的事物的全体称为集合，将构成集合的每一事物称为集合的元素.集合无所不包，大到宇宙，小到粒子，无论是物质，还是精神，世间的万物，均可以成为集合中的元素.
集合元素有三个特征：①确定性；②互异性；③无序性.
确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
例如，“所有接近1的数”就不是集合，因为“接近1的数”是不确定的.
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.
无序性：集合中的元素没有顺序.
一般我们用大写字母A，B，C，D等来表示集合，用小写字母a，b，c，d等来表示集合的元素.
非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作N；
正整数集：所有正整数的集合，记作N*或N+；
整数集：全体整数的集合，记作Z；
有理数集：全体有理数的集合，记作Q；
实数集：全体实数的集合，记作R.
若a是集合A中的元素，则称a属于A，记作a∈A；
若a不是集合A中的元素，则称a不属于A，记作aA；
例如，1是自然数，所以1∈N；而-1不是自然数，所以-1N.
2.集合的表示方法
集合的表示方法通常有列举法和描述法.
列举法——将集合中的所有元素按任意顺序一一列出，并用花括号括起来。
例1 所有非负整数（自然数）的全体是一个集合N={0，1，2，3，…，n，…}.
所有整数的全体也是一个集合，记为Z，即Z={…，-n，…，-2，-1，0，1，2，…，n，…}.
注意：不必考虑顺序，用“，”隔开；集合中的元素是不同的，同一集合中不能重复出现同一元素，集合中的元素是无序的，可以任意列出.因此在用列举法表示集合时，必须列出集合中所有的元素，不得遗漏和重复.
描述法———用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为A={x|x具有的特征}={x|P（x）}.
其中x代表元素，P（x）为某个与x有关的条件或法则，A为满足P（x）的一切x构成的集合.
例如，方程x2 -1=0的实数解集表示为A={x|x2 -1=0且x∈R}.
例2 单位圆周x2 +y2 =1上的所有点是一个集合，记为{（x，y）|x2 +y2 =1}.
例3 参加2010年在南非举行的世界杯足球赛的所有球员也是一个集合，可用列举法表示.
注：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.
【即学即练】
1.用集合表示所有大于0且小于10的奇数组成的数.
（答案：{1，3，5，7，9}）.
2.下列问题中，哪些能构成集合（若构成集合用适当的方法表示出来）？
①不等式x-1>0的解；②方程x2-2x+1=0的解；③a，b，c，d；
④中国古代四大发明；⑤地球上的七大洲；⑥地球上的小河流
（答案：能构成集合的有①②③④⑤）.
①A={x|x-1＞0};②C={1};③D={a,b,c,d};
④E={造纸，印刷，火药，指南针}；
⑤F={亚洲、非洲、北美洲、南美洲、南极洲、欧洲、大洋洲}.
3.分别用集合的描述法与列表法表示方程x2-3x+2=0的解集.
（答案：A={x|x2 -3x+2=0}={1，2}）.
3.集合的分类
集合由含有元素的量的多少可分为有限集、无限集、全集、空集.
由有限个元素构成的集合，称为有限集；例如某专业全体学生的集合为有限集.由无限多个元素构成的集合，称为无限集；例如，有理数集合是无限集.在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则将某个集合称为全集，记为U，即全集就是一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素的集合（注：全集是相对的，一个集合在一定的条件下是全集，在另一个条件下就可能不是全集.例如，讨论的问题仅限于有理数，则全体有理数集合就是全集；讨论的问题包括有理数和无理数，则全体有理数的集合就不是全集）；不含任何元素的集合称为空集，记作Φ.
例如，自然数集是无限集，则{1，2，3}是有限集.
又例如，B={x|x2 +1=0，x∈R}，即方程x2 +1=0的实数根集合为空集.
4.子集；真子集；两个集合相等（集合与集合之间的关系）
设A，B为两个集合，若B中的每个元素都是A中元素，那么将B称为A的子集，记作BA；若BA且B≠A，则称B为A的真子集，记作BA，读作：“B包含于A或A包含B”；若B不是A真子集，记作BA.若BA且AB，则A等于B，记为A=B.
例如，N⊆R，Q⊆R，但R
Q.
由此我们有数集之间的关系：N⊂Z，Z⊂Q，Q⊂R.
空集是所有集合的子集.
集合以及集合之间的关系可由文氏（Venn）图直观表示.如图1-1所示，文氏图是用简单的平面区域表示的一个集合，集合内的元素由区域内的点表示.
图1-1
5.集合的运算
集合的运算主要有交、并、差、补运算及集合的笛卡尔乘积.
（1）并集
设A，B是两个任意集合，所有属于A或属于B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B，读作：“A并B”.用描述法表示为：A∪B={x|x∈A，或x∈B}.
图1-2
如文氏图1-2所示，图中阴影部分为A∪B.
（2）交集
设A，B是两个任意集合，既属于A又属于B的所有元素组成的集合称为集合A与B的交集，记作A∩B，读作：“A交B”.
用描述法表示为：A∩B={x|x∈A，且x∈B}.
如文氏图1-3所示.
图1-3
如果两个集合A和B没有公共元素，即A∩B=Φ，集合A与B叫做不相交集.
例4 设集合A={x|-2＜x＜2，x∈R}，B={x|0≤x≤4，x∈R}，求A∪B，A∩B.
解：A∪B={x|-2＜x＜2，x∈R}∪{x|0≤x≤4，x∈R}={x|-2＜x≤4，x∈R}
A∩B={x|-2＜x＜2,x∈R}∩{x|0≤x≤4,x∈R}
={x|0≤x＜2,x∈R}.
例5 设A为奇数集合，B为偶数集合，求A∪B，A∩B.
解：A∪B={x|x为奇数或偶数}={xx∈Z}
（①因为当x∈A时，x为奇数；当x∈B时，x为偶数.所以A∪B中的元素或者是奇数，或者是偶数，从而是一切整数）；
A∩B={x|x既是奇数，又是偶数}=Φ
（②因为当x∈A时，x为奇数；当x∈B时，x为偶数.所以A∩B中的元素既是奇数，又是偶数，这样的数不存在，从而是空集）.
（3）差集
设A，B是两个任意集合，属于A而不属于B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的差集，记作A-B.即A-B={x|x∈A，且x∉B}，如文氏图1-4表示的阴影部分.
例6 设集合A={x|-1≤x＜2，x∈R}，B={x|0 ＜x≤3，x∈R}，求A-B，B-A.
图1-4
解：A-B={x|-1≤x＜2，x∈R}-{x|0＜x≤3，x∈R}={x|-1≤x≤0，x∈R}
B-A={x|0＜x≤3,x∈R}-{x|-1≤x＜2,x∈R}={x|2≤x≤3,x∈R}.
（4）补集
设U为全集，A⊆U.由U中所有不属于A的元素组成的集合，称为集合 A的补集，记作
，读作：“A在 U中的补集”，即
={x|x∈U，且x∉A}.如文氏图1-5表示的阴影部分.
补集A可看做全集U与集合A的差集，
=U-A.
图1-5
例7 设全集U={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，2}，求
.
解：
=U-A={0，1，2，3，4，5}-{0，1，2}={3，4，5}.
例8 设全集U={某大学的全体本科学生}，A={某大学本科全体一年级学生}，求
.解题分析：补集是全集U中所有不属于A的元素组成的集合，应该是本科中除一年级以外的本科学生.
解：
={某大学二、三、四年级的本科学生}.
例9 设A={1，2，3}，B={2，5}，求A∪B，A∩B，A-B.
解：由上几例得A∪B={1，2，3，5}，A∩B={2}，A-B={1，3}.
（5）集合的笛卡尔乘积
设A，B是两个任意集合，x∈A，y∈B，所有二元有序数组（x，y）构成的集合，称为集合A与B的笛卡尔乘积，记为A×B.
即A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}.
当A，B是有限集合时，A×B中的元素个数是集合A的元素个数乘以B的元素个数.
例10 设A={1，2，3，4}，B={2，3}，求A×B.
解题分析：A×B中的元素个数是集合A的元素个数乘以B的元素个数.因此所得结果中应有4×2=8个元素.
解：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}={（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3）}.
注：如果A与B中至少有一个是无限集，那么A×B必然也是无限集.
类似可推广得A×B×C={（x，y，z）|x∈A，y∈B，z∈C}.
例11 设A={1}，B={2，3}，C={0，4，5}，求A×B×C.
解：A×B×C={（1，2，0），（1，3，0），（1，2，4），（1，3，4），（1，2，5），（1，3，5）}.
当A，B，C是有限集时，A×B×C中的元素个数是集合A的元素个数乘以B的元素个数再乘以C的元素个数.以此可类推.
【即学即练】
1.设A={2，3，5，7}，B={0，3，7，9}，求A∪B，A∩B.
（答案：A∪B={0，2，3，5，7，9}，A∩B={3，7}）.
2.设A={1，2，3}，B={2，5}，求A×B.
（答案：A×B={（1，2），（1，5），（2，2），（2，5），（3，2），（3，5）}）.
6.集合的运算规律
（1）交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A.
（2）结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C），
(A∩B)∩C=A∩(B∩C).
（3）分配律：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C），
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).
（4）吸收律：（A∪B）∩A=A，（A∩B）∪A=A.
（5）摩根律：
，
.
以上定律可以通过文氏（Venn）示意图来直接验证.
二、实数集
1.实数与数轴
全体实数的集合记为R.
实数集R是一类数学上非常重要的数集，微积分就是建立在实数集上的.实数包含有理数与无理数，有理数就是可以表示成分数的数或者无限循环小数，而无理数就可以定义为无限不循环小数.
例如，1是有理数，同时1=0.9999…=
.而π就是无理数.在数学的发展历史上，首先认知了整数集Z，然后是有理数，对于无理数的认知是后来的发展成果.现代数学分析理论告诉我们，“任何两个不同的有理数之间都有无理数，同样任何两个不同的无理数之间都存在有理数”.
实数又分为正数与负数，人类首先认识了正数，后来人类发现在加减法运算中，减法运算可以通过引入负数称为加法运算.如设a>0，a-a=a+（-a），这里-a就是负数.
通过数轴，我们可以找到任何实数的位置，如图1-6所示.
图1-6
2.实数的运算规则
（1）加法、乘法运算规则
加法交换律 a+b=b+a；加法结合律（a+b）+c=a+（b+c）；
乘法交换律 a·b=b·a；乘法结合律（a·b）·c=a·（b·c）；
分配律 a（b+c）=ab+ac.
（2）括号规则
a+(b-c)=a+b-c;a-(b-c)=a-b+c;
a+b-c=a+(b-c);a-b+c=a-(b-c).
（3）正负规则
a(-b)=-(ab);(-a)b=-(ab);
(-a)(-b)=ab.
（4）比例规则
;
(b≠0,c≠0);
(b≠0,d≠0);
(b≠0,c≠0,d≠0).
（5）乘方规则
n个数a相乘a·a…a=an称为a的n次方（或a的n次幂）；
正数的非0次幂是正数；
负数的非0偶次幂是正数，奇次幂是负数；
0的正数次幂等于0，非0数的0次幂等于1.
例如，25=32，（-4）3=-64，（-1.3）2=1.69，0100=0，a0=1（a≠0）.
（6）开方规则
数a的n次方根是指求一个数，它的n次方恰好等于a.a的n次方根记为
（n为大于1的自然数）.
（a ≥ 0）；
=a；
（a ≥ 0，b≥0）；
（a≥0，b＞0）；
正数的奇次方根是一个正数；正数的偶次方根有两个互为相反的数；0的n（n为正整数）次方根是0；
负数的奇次方根是一个负数，在实数范围内，负数没有偶次方根.
例如，
=5，
=-2，，
=0（n为正整数），如果x2=a，那么，x叫做a的平方根.
一个正数a（a＞0）的平方根，是两个互为相反的数
，其中正的平方根
叫做a的算术平方根（或算术根）.
如果x3=a，那么，x叫做a的立方根.
按照实数运算顺序规则是，在没有括号的算式中，先计算乘方、开方，再计算乘法、除法，最后计算加法、减法；如果算式中有括号，先计算小括号内的算式，然后计算中括号内的算式，最后计算大括号内的算式.
3.一个数的绝对值
（1）一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，记为|a|.
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
即
（2）绝对值有以下性质：
①任何实数都有唯一的绝对值，且绝对值非负，即|a|≥0.
②任何一个实数都不大于它的绝对值，且不小于它的绝对值的相反数，即-|a|≤a≤|a|.
③互为相反的一对数，其绝对值相等，即|-a|=|a|.
④两个实数乘积的绝对值等于两个实数绝对值的乘积，即|ab|=|a|.|b|.
⑤两个实数和的绝对值不大于两个实数绝对值之和，即|a+b|≤|a+b|.
⑥两个实数差的绝对值不小于两个实数绝对值之差，即|a-b|≥|a|-|b|.
⑦任何一个实数的绝对值等于该实数平方后的算术平方根，即|a|=
.
以上性质可由不等式的性质、绝对值定义和已有性质推得，例如，对于性质⑤|a+b|≤|a|+|b|，由性质②得-|a|≤a≤|a|，-|b|≤b≤|b|，由不等式性质两式相加得-（|a|+|b|）≤a+b≤|a|+|b|，即由性质②得|a+b|≤|a|+|b|.
例12 去掉绝对值|2 x-3|符号.
解题分析：按照
确定使2 x-3=0的值，即x=
；
然后分别讨论
，
，
时的2x-3取值情况.
解：因为当
时，2x-3＞0，即|2x-3|=2x-3；
当
时，2x-3=0，则|2x-3|=0；
当
时，2x-3＜0，则|2x-3|=-（2x-3）=3-2x.
所以综上所述，得
.
【即学即练】
去掉式子|2x+5|-|x-3|（-2＜x＜2）的绝对值符号.
（答案：x+8）
4.区间与邻域
区间是常用的一类数集，分为开区间、闭区间、半开半闭区间.设a，b是实数，且a<b.
（1）开区间（a，b）={x∈R|a＜x＜b}.
（2）闭区间[a，b]={x∈R|a≤x≤b}.
（3）半开半闭区间（a，b]={x∈R|a＜x≤b}；[a，b）={x∈R|a≤x＜b}.
用数轴表示三类区间，如图1-7所示.
图1-7
以上区间称为有限区间，因为区间长度为b-a.
将满足不等式a＜x＜+∞或-∞＜x＜b或a≤x＜+∞或-∞＜x≤b或-∞＜x＜+∞的所有实数组成的集合，我们称此类区间为无限区间，此时区间长度为无穷大，如：{x∈R|x＞a}，或者{x∈R|x＜b}.为简单起见，引进符号+∞，读作：“正无穷大”；引进符号-∞，读作：“负无穷大”.那么无限区间有：
（1）（a，+∞）={x∈R|a＜x＜+∞}，（-∞，b）={x∈R|-∞＜x＜b}.如图1-8（a）、（b）所示.
（2）[a，+∞）={x∈R|a≤x＜+∞}，（-∞，b]={x∈R|-∞＜x≤b}.如图1-8（c）、（d）所示.
（3）R=（-∞，+∞）={x∈R|-∞＜x＜+∞}.如图1-8（e）所示.
图1-8
邻域是一类重要的区间，也是一种集合.
设x0∈R，δ＞0，在数轴上以点 x0 为中心，长度为2δ的开区间（x0 -δ，x0 +δ）={x||x-x|0 ＜δ，δ＞0}称为以点 x0 为中心 δ为半径的邻域，简称点 x0 的邻域，记为U（x0，δ）=（x0 -δ，x0 +δ）.如图1-9所示，一般δ是很小的正数.
图1-9
在微积分中还常用到去心邻域，就是邻域U（x0，δ）去掉中心x0后的集合.
{x|0＜|x-x0 |＜δ，δ＞0}=（x0 -δ，x0）∪（x0，x0 +δ），记为
（x0，δ），如图1-10所示.
将（x0 -δ，x0）和（x0，x0 +δ）分别称为左邻域和右邻域，分别记为
（x0，δ）和
（x0 ，δ）.
图1-10
换句话说，某点的邻域是实数轴上以该点为中心，左右对称的、长度为一个很小正数的2倍的开区间，它是一种特殊的开区间.
开区间与邻域不同在于：一般的开区间只是以两个端点内的所有点组成的集合，它不规定哪一点为对称中心点，而邻域是以某点x0为中心，左、右对称，长度为2δ的开区间.
例13（1）求以点x0=2为中心，长度为0.2的邻域.
（2）求以点x0=1为中心，δ=2为半径的去心邻域.
解：（1）依题意x0=2，2δ=0.2则δ=0.1
所求邻域为U（2，0.1）=（2-0.1，2+0.1）={x||x-2|＜0.1}
即是开区间（1.9，1.3）.
（2）因为U（1，2）=（1-2，1+2）=（-1，3）
所以
（1，2）=（-1，1）∪（1，3）.
【即学即练】
1.求以点x0=5为中心，δ=0.5为半径的邻域.
（答案：U（5，0.5）={x||x-5|＜0.5}或（4.5，5.5））.
2.求以点x0=1为中心，δ=2为半径的去心邻域.
（答案：
（1，2）=（-1，1）∪（1，3））.
三、一元二次方程ax2+bx+c=0的解法
一元二次方程最基本的解法是公式法，有时也可以用配方法或因式分解法求解，下面将一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）几种解法方法复习如下.
1.公式法
用公式法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）参考步骤如下：
第一步，把方程化为一般形式ax2+bx+c=0，确定a，b，c的值；然后用判别式Δ=b2-4ac 判断方程解的情况；
第二步，根据第一步的判别情况，若b2-4ac≥0，则方程有解，再把a，b，c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式①、②中之一，求出方程的根，作为方程的解；若b2-4ac<0，此时方程无实数解.
由判别式可得方程根的情况如下：
①当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不同的实数解；
②当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相同的实数解；
③当Δ=b2-4ac<0时，方程无实数解.
由于一元二次方程的解在图形上表示的是与x轴相交的点，因此，以上的解可用图1-11表示如下（ax2+bx+c=0的图像为抛物线）：
图1-11
例14 用公式法解方程2x2-7x-15=0.
解：第一步
因为a=2，b=-7，c=-15，且Δ=b2-4ac=（-7）2-4×2×（-15）=169>0
所以方程有两个不同的实数解；
第二步
由求根公式①得
所以原方程有两个不同的根：x1=5，x2=-1.5.
2.配方法
用配方法解一元二次方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0）参考步骤如下：
第一步，将所给方程化为x2+bx+c=0形式（化二次项系数为1），然后将常数项移到等号右边（移项）；
第二步，配方即在等号的两边分别加上一次项系数一半的平方；
第三步，若等号右边的常数项大于等于0，则再开方（直接开平），求得方程的解；否则无解.
例15 解方程4x2-8x-5=0.
解：第一步
方程两边同除以4，得
x2-2x-1.25=0将常数项移到等号右边，得
x2-2x=1.25
第二步
配方得：x2-2x+12=1.25+12
在等号的两边分别加上一次项系数“2”的一半的平方“12”，进行配方.
第三步
因为（x-1）2=2.25的等号右边的常数大于0，所以可开方得
方程的根为x1=2.5，x2=-0.5.
3.因式分解法
首先将所给方程化为一般形式ax2+bx+c=0，然后将左边分解成两个一次因式的积的形式，让两个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，解这两个方程所得的根就是原方程的根.
在因式分解法中有一种常用的方法是十字相乘法，这种方法的关键是把方程ax2 +bx+c=0（a≠0）二次项的系数a分解成两个因数a1，a2 的积a1 .a2 ，把常数项c分解成两个因数c1 ，c2 的积c1 .c2 ，并使a1 .c2 +a2 .c1 正好是一次项系数 b，这样可以直接写成结果：ax2 +bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.在运用这种方法分解因式时，要注意观察，当首项系数不是1 时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号.
图Ⅰ
十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.
如图Ⅰ所示.
另外，一些特别的方程左边能分解成一个完全平方的形式，如（x-m）2=n（n≥0），则方程的解为
.
例16 解方程x2-39=-10x
解：x2 +10x=39，配方得x2 +10x+52 =39+52 ，
（x+5）2 =64两边开平方得
x+5=±8，x=3或x=-13.
例17 用因式分解法解方程6x2+7x-3=0.
解题分析：此方程可用十字相乘法.
解：其中a=6，b=7，c=-3，
图Ⅱ
其中6可分解为2×3，-3可分解为3×（-1），如图Ⅱ所示，则原方程化为（2x+3）（3x-1）=0，由此解得原方程的两个根为
.
【即学即练】
1.用公式法解下列方程.
(1)6x2-13x-5=0;(2)x(x+8)=16
（答案：（1）
，
；（2）
，
.
2.用配方法解方程2x2 +3=5x.（答案：x1 =
，x2 =1）.
3.用因式分解法解方程.
(1)x2+2x-15=0;(2)3x2+6x-7=2x2
（答案：（1）x1=-5，x2=3；（2）x1=1，x2=-7）.
4.用因式分解法解方程x2+3x-10=0.（答案：x1=-5，x2=2）.
四、不等式
1.不等式的性质
（1）对称性 a＞b⇔b＜a.
（2）传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c.
（3）等量可加性 a＞b⇒a+c＞b+c.
（4）数乘性质 a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
（5）可加性 a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d.
a＞b,c＜d⇒a-c＞b-d.
（6）取倒数 a＞b，ab＞0⇒
.
（7）三角不等式 |a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a-c|+|c-b|.
|a+b|≥|a|-|b|;|a|-|b|≤|a-b|.
（8）其他一些有用的不等式
a＞b＞0⇒an ＞bn,n∈N,n≥1.
a＞b＞0⇒
,n∈N,n≥1.
a，b∈R⇒a2 +b2≥2ab，当且仅当a=b等号成立.
,(a,b≥0).
2.不等式的解集
（1）不等式|x|＞a的解集是{x|x＞a或x＜-a}（a＞0）.
（2）不等式|x|＜a的解集是{x|-a＜x＜a}（a＞0）.
（3）一元一次不等式：含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的不等式称为一元一次不等式.
一元一次不等式组：含有相同未知量的几个一元一次不等式所组成的不等式组.
（4）一元一次不等式组的解：同时满足不等式组中每一个不等式的解.
注意：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤类似；一元一次不等式不一定有解，例如，不等式x-3>x+2就没有解.
在不等式组的求解过程中，一般利用数轴确定它们的解，是一种比较常用直观的方法.
下面举例说明.
例18 解下列不等式
-1.
解：去分母，即不等号两边同乘14，得
14x-7(3x-8)≤4(10-x)-14
去括号，得14x-21x+56≤40-4x-14
合并同类项，即将未知量的项移到不等号的一边，常数项移到不等号的另一边，然后合并，得-3x≤-30；
不等号两边同除-3，由性质（3）得x≥10.
注：求解一元一次不等式组时，首先要分别求出每个不等式的解，然后找出它们的公共部分，即满足各个不等式的公共解，这个公共解就是不等式组的解.
例19 解不等式组
.
图1-12
解：去掉第一个不等式中的括号，合并同类项，得x<-6.去掉第二个不等式中的括号，得5x-10<3x-3合并同类项，得x<3.5.由图1-12可知，不等式组的解，即同时满足不等式组中二个不等式的解为x<-6.
例20 解绝对值不等式|2x-3|≥5.
解题分析：解带有绝对值符号的不等式，关键判断绝对值符号内的式子去掉绝对值后的符号，因此需要由绝对值不等式的性质将所求不等式化为不带有绝对值的不等式从而求得结果。
解：由|2x-3|≥5，得
2x-3≥5或2x-3≤-5（注：由|x|＞a的解集是{x|x＞a或x＜-a}（a＞0））.先将不等号左边的-3移到右边，并相加；然后在不等号的两边同时除以2，得到该绝对值不等式的解，即x≥4或x≤-1.不等式的解如下图1-13所示.
图1-13
例21 求不等式|x+1|＜|x|的解集.
解：根据绝对值不等式的性质，-|x|＜x+1＜|x|.如果x≥0，则有|x|=x，从而-x＜x+1＜x.由x+1＜x⇒1＜0⇒矛盾，故解集是空集.
如果x＜0，则有|x|=-x
于是x<x+1<-x，
解得x＜-
（由x＜x+1＜-x⇒x＜-
且1＞0⇒x＜-
），
综上所述，不等式的解集为{x|x＜-
}.如图1-14所示.
图1-14
例22 求{x||3 x-2|＜1}和{x||x|≥解：根据不等式的性质，求解
}的交集.
{x||3x-2|＜1}={x|-1＜3x-2＜1}={x|
＜x＜1}
而{x||x|≥
={x|x≥
或x≤-
}，所以它们的交集为{x|
≤x＜1}.如图1-15所示.
图1-15
【即学即练】
解下列不等式，并用数轴表示它们的解.
（1）|x+2|≤2；（2）解不等式组
（答案：（1）-4≤x≤0，
；（2）无解）.
（5）一元二次不等式ax2+bx+c>（或<）0（a>0）的解集
一元二次不等式：含有一个未知量，并且未知量的最高次幂是二次的不等式称为一元二次不等式.
任何一个一元二次不等式，总可以写成下列两种形式的其中一种形式：
ax2+bx+c≥0或ax2+bx+c≤0.（a≠0），我们通过下面的例子介绍其求解法.
例23 解不等式x2-3x-10>0.
解：将不等式左边分解因式，得
(x+2)(x-5)>0
上式相当于下列不等式组
或
由第一个不等式组得x>-2且x>5
所以第一个不等式组的解为x>5.
由第二个不等式组得x<-2且x<5
所以第二个不等式组的解为x<-2.
图1-16
由此可得原不等式的解为x>5或x<-2，如图1-16所示.
一般来说，一元二次不等式ax2+bx+c>（或<）0（a>0）的解集可用图像法（ax2+bx+c=0的图像为抛物线）.
讨论Δ=b2-4ac，在不等式ax2+bx+c>（或<）0（a>0）左边经过配方，可得ax2 +bx+c=a
ax2+bx+c的图像依据Δ=b2-4ac的取值如图1-17所示.
图1-17
其中x1，x2分别是ax2+bx+c=0的解.知道了它们的图像，我们也可以写出解集.例如，当Δ=b2-4ac>0，ax2+bx+c=0有两个不同的解x1，x2，那么
ax2+bx+c>0的解集就是
{x|x＞x2 或x＜x1}.
ax2+bx+c<0的解集就是
{x|x1 ＜x＜x2}.
注：对于ax2+bx+c>（或<）0（a<0）的情形，我们只要将不等式两边同时乘以-1，变号后成为前一种情形一样加以讨论即可.
例24 解不等式x2-3x-10>0.
解：因为Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-10）=49>0，所以方程x2-3x-10=0有两个不同的实数解x1=-2，x2=5，
则x2-3x-10>0的解为x>5或x<-2.
例25 求-x2+x+3≥0的解集.
解题分析：二次项系数小于零，首先将其变形为二次项系数大于零的情形，然后求解.
解：因为有x2-x-3≤0，Δ=b2-4ac=13>0，方程有两个解
，
所以不等式的解为
.
【即学即练】
解不等式-3x2 +6x＞2.（答案：
）.
（6）二元一次不等式
二元一次不等式——含有两个未知量，并且未知量的最高次幂是一次的不等式.其一般形式是
ax+by+c≥0或ax+by+c≤0.
其中a，b，c为常数，且a≠0，b≠0.
二元一次不等式组——由几个二元一次不等式组成的不等式组.
求解二元一次不等式或二元一次不等式组的常用方法之一有图解法，下面通过例子介绍.
例26 用图解法解不等式2x+3y≥0.
解：首先在直角坐标系中画直线（见图1-18）l：2x+3y=0.由右图可知，直线l将坐标平面分成左下、右上两个半平面.然后在右上半平面中任取一点，如（1，1），代入不等式，得
2x+3y=2×1+3×1=5>0
由此可知，右上半平面内的所有点都是不等式2x+3y≥0的解.显然，直线l上的点也是2x+3y≥0的解.所以，原不等式的解是包含直线l的右上半平面内的全部点，如图1-18所示的阴影部分.
图1-18
注意：二元一次不等式的解是直角坐标系中的半个平面.当不等号是“≤”或“≥”时，解的半平面包含直线，而当不等号是“＜”或“＞”时，解的半平面不含直线，在图中用虚线表示.
例27 用图解法求解不等式组
.
解：在直角坐标系中画直线（图1-19）
l1:2x-y+4=0
取点（0，0），代入直线方程得
2×0-0+4=4>0,
即点（0，0）不在2x-y+4<0表示的半平面内，因此2x-y+4<0的解是直线l1的左上半平面.再画直线
图1-19
l2:2x+y+1=0
取点（0，0），代入直线方程得
2×0+0+1>0
即点（0，0）在2x+y+1≥0表示的半平面内，因此2x+y+1≥0的解是直线l2的右上半平面.取两个半平面的重叠部分（在图1-19中用阴影表示），得到原不等式组的解.
注：由上例可知，求二元一次不等式组的解，就是在直角坐标系中分别画出不等式组中每一个不等式所对应的半平面.如果这些半平面有重叠的区域，不等式组就有解，且解的区域可能是无界区域，也可能是有界区域.如果这些半平面没有重叠的部分，则不等式组无解.
用图解法求解二元一次不等式或二元一次不等式组的参考步骤：
第一步，将二元一次不等式改写为直线方程，即将不等号改成等号，并在直角坐标系中画出直线，若原不等号是“>”或“<”号，则直线用虚线表示；若是“≥”或“≤”，则直线用实线表示.
第二步，在某个半平面中（除直线外）任取一点，代入原不等式，若满足不等式，则该点所在半平面就是不等式的解.否则，不等式的解是另一半平面.
注：一条直线将坐标平面分成两个半平面.当直线外一点不满足不等式，即该点不是不等式的一个解时，那么该点所在的半平面上的点都不是不等式的解，故不等式的解是直线的另一半平面上的点.
§1.1 练习题
1.用列举法或者描述法表示下列集合：
（1）方程-x2+x+3=0的根的集合.
（2）不小于9的所有整数.
（3）以1为心，以5为半径的去心邻域.
设A={x|x＞5或x≤3}，B={x|x＞2}，求A∪B，A∩B，A-B.
2.解下列方程：
(1)5(y+9)=3(9+y)
(2)(2x-5)2=9
(3)4x2-3x-1=0
3.不解方程，只判别根的情况：
(1)16x2-56x+49=0
(2)32x2+4x+35=0
4.用区间表示下列点集，并在数轴上表示出来：
(1)A={x|1＜|x-2|＜3};(2)B={x|x∈R,x≠-2}
5.解下列不等式组：
(1)
(2)
6.解下列不等式：
(1)x2-5x+6≤0(2)-3x2-8x+3＜0
7.解不等式：
(1)|x+1|＜2
(2)
＜2(3)0＜|2x-1|＜2
(4)|x-1|＜ε(ε＞0)
8.设A={x|x+y＞1}，B={x|2x+y-1＞0}，在坐标面上标出A∩B的区域.