§1.2 函数

一、平面直角坐标系

讨论函数之前，先复习直角坐标系.在一平面上，两条数轴成直角相交，构成一个直角坐标系.规定水平方向的数轴叫做横轴或x轴，垂直方向的数轴叫做纵轴或y轴，两条数轴的交点叫做坐标原点（记为O），x轴的原点右方为正方向，y轴的原点上方为正方向.平面内的每一个点都可用一有序实数对来表示，称为笛卡尔坐标.如果经过点P的竖直直线和水平直线分别交x轴、y轴于a，b两点，那么点P的坐标就是（a，b），第一个数a叫点P的横坐标，第二个数b叫点P的纵坐标，如图1-20所示.坐标平面分为四个象限，每一个象限中点的横坐标和纵坐标的符号如下：

图1-20

第一象限：（+，+）；第二象限：（-，+）；第三象限：（-，-）；第四象限：（+，-）.

平面中取定直角坐标系之后，平面上的点P与有序实数对（x，y）是一一对应的，在x轴上的点的纵坐标为0，即（x，0）；在y轴上的点的横坐标为0，即（0，y）.

在直角坐标系中，设点P₁的坐标为（x₁，y₁），点P₂的坐标为（x₂，y₂），则P₁，P₂两点之间的距离设为D的计算公式为

两点之间的距离非负，而且只有在这两点位置相同的情况下，它们之间的距离才等于0.

二、变量与常量

在实际生活中，我们会遇到各种各样的量，如自然现象中的温度、重量，几何应用中的角度、面积、体积以及经济应用中的成本、利润等.

自然界一切事物都在不断地变化，变化是绝对的，不变是相对的.在研究问题的过程中有些量保持不变，例如，观察在含有一定量盐的盐水中，逐渐加入水，则在加入水的过程中，盐水的含水量及浓度均在逐渐改变，像这种变化的量我们称为变量；也有些量在观察的过程中是保持不变的，例如，在上述的过程中，含盐量不会变化，又例如，解方程或方程组，求得的解都是固定不变的，像这种相对不变的量我们称为常量.

一个变量所能取的数值的集合叫做这个变量的变动区域，简称变域.

注意下面几点：

（1）常量和变量依赖于所研究的过程.同一个量，在某一过程中可以认为是常量，而在另一过程中则可能是变量；反过来也是同样的。这说明常量和变量具有相对性.

（2）从几何意义上讲，常量对应着数轴上的定点，变量则对应数轴上的动点.

（3）有一类变量，可以取介于两个实数之间的任意实数值，叫做连续变量，连续变量的变动区域常用区间表示.

三、函数的概念

我们考虑问题的过程中，不仅出现一个变量，还可能出现几个变量.如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质.

如圆的面积S与半径的关系：

考虑半径r可以变化的过程，面积和半径叫做变量.

一天中气象预报中的温度曲线，就是时间与温度之间的对应关系.股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系.又如银行中的利率表：

它反映的是存款存期与存款利率之间的对应关系.

以上这几个例子反映的都是两个变量之间的变化，它们之间的变化不是孤立的，而是存在着一种确定的依赖关系.这种关系给出了一种对应法则；并且，两个变量中，当有一个变量在一定的范围内取定某一数值时，按照这种法则，另一个变量必有唯一的数值与之对应.这一特征抽象到数学上就得到函数的定义.

定义1.1 设D是一非空实数集，在一变化过程中变量y∈R随着变量x∈D而变化，对每个x∈D，按照一定的对应法则f，总有唯一且确定的y与其对应，则称y是x的函数，记作y=f（x），x∈D，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，也可记为D（f），f称为对应法则，全体函数值的集合f（D）={y|y=f（x），x∈D}称为函数y=f（x）的值域，记为Z或Z（f）.

按照定义，当自变量x在其定义域内取定某确定值x₀时，因变量y按照所给函数关系y=f（x）求出的对应值y₀叫做当x=x₀时函数值，记作y|_x=x0或f（x₀）。

在函数的定义中我们要注意的是：

（1）在定义中记号y=f（x）是函数的抽象记号，字母f表示了对应的法则，f（x）表示与x对应的函数值而不是f乘x。“y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”，也可用其他字母如φ，ψ，F来表示.相应地，函数也就记成y=φ（x），y=ψ（x），y=F（x），在同一题的讨论中，对于不同函数的对应法则，一般最好使用不同的字母，以免混淆.当然，仅代表了定义域和值域中的元素也可换成其他字母，另外，函数与自变量及因变量所选用的字母无关。例如，y=f（x）与y=f（u），F=f（u），y=f（v）是同一函数.

（2）由定义我们可得知函数的实质是变量之间的对应关系，确定函数的要素是定义域和对应关系.因此我们得两个函数是相同的充分必要条件是：这两个函数的定义域相同且对应规则相等.例如，函数的定义域是{x|x∈R，x≠-2}，但是，如果约去分子分母的公因子x+2，变成y=x-2，此时函数的定义域是{x|x∈R}.由于定义域不同，所以与y=x-2是两个不同的函数.

（3）因为在函数定义中，对于某个x∈D，变量y按照一定的法则有唯一的y值与x对应（从图形上看，在定义域中给定一个x的值，在x轴上的这个点作y轴的平行线，则平行线与曲线只有一个相交点），但有时会有这样的数学问题：对于某个x∈D，变量y按照一定的法则有两个或两个以上的y值与x对应.这样的问题和函数定义有对应法则上的区别，为区别起见，我们将前者称为单值函数，将后者称为多值函数，如y2=x就是多值函数，因为某个x∈D，变量y按照法则y2 =x对应着两个单值分支，又如：对于某个x∈D，变量y按照法则x2 +y2 =1 对应着两个单值分支，因此x2 +y2 =1也是多值函数，从几何图形上单值函数与多值函数，如图1-21所示.

图1-21

本书只讨论单值函数.

用y=f（x）表示的函数一般称为函数的显式表达.有些函数利用显式表达不出来，只能写成方程F（x，y）=0的形式，也表达的是自变量x与因变量y的函数关系，此时称F（x，y）=0为函数的隐式表达，简称隐函数.如xy-eylnx+2=0.

（4）利用函数的记号计算函数值.当函数f（x）由解析式给出时，在计算函数值的过程中，用相同的数值或表达式替代函数表达式中的所有x.

在考虑一个问题的过程中，f表示一个确定的对应关系，在之后考虑这个问题的过程中，f始终表示同样的对应关系.比如：

f=x2+2x-1

它反映的就是这样一种对应关系：

f()=()2+2()-1

等式左端的函数括号中带入一个量，表示要对其进行等式右端的运算.如当（）中代入2时f（）=（）2+2（）-1成为

f(2)=22+2×2-1=-1

又如（）中代入x2时f（）=（）2+2（）-1成为

f(x2)=(x2)2+2(x2)-1=x4+2x2-1

即无论左端带入什么值，都对它进行同样的运算.

例1 已知函数f（x+1）=x2 +4x-3，求f（x），，f（0），f（1）.

解：方法一：

解题分析：已知函数的运算关系为：

f(()+1)=()2+4()-3

因此将x-1代入上式两端的小括号内得解

即f（x）=x2+2x-6

将x分别等于，0，1代入f（x）=x2 +2x-6则得

+2-6=

f(0)=02+2×0-6=-6

f(1)=12+2×1-6=-3.

方法二：

解题分析：将x+1看做一个固定的变量，即作变量替换x+1=t，这样得x=t-1，从而直接得出函数f（x）的表达式，然后再进行有关计算，已知函数的运算关系为：

f(()+1)=()2+4()-3

解：作变量替换x+1=t，得x=t-1，将其代入函数表达式f（x+1）=x2+4x-3两端得

因函数关系与表示自变量的符号无关，故得函数表达式f（x）=x2 +2x-6

从而

+2-6=

f(0)=02+2×0-6=-6

f(1)=12+2×1-6=-3.

在函数类中，有一些称为基本的初等函数是微积分的重要研究对象，主要有：

常数函数　y=c，其中c是常数.

幂函数　y=xα，其中α∈R，α≠0.

指数函数　y=ax，其中a>0，a≠1.

对数函数　y=log_ax，其中a>0，a≠1.

三角函数　y=sinx（正弦函数），y=cosx（余弦函数），

y=tanx（正切函数），y=cotx（余切函数），

y=secx（正割函数），y=cscx（余割函数）.

反三角函数　y=arcsinx，y=arccosx.

y=arctanx,y=arccotx.

关于基本初等函数的性质与特性，我们将在下一节中一一列举.

例2 判断是否是函数.

解：由于的定义域是空集，不符合函数定义，所以它不是函数.

例3 判断x>y是否为函数.

解：由于对应着每个x，有很多y与其对应，所以按照函数定义，其不是函数.

函数的表示方法一般有表格法、图像法和解析法（公式法）.

例4 某城市居民某年1月份至6月份的用水量（单位：万立方米）如下表所示：

上表就是某城市居民的用水量随时间变化的数据，其实就是一个函数，自变量是月份，上面的函数关系就是用表格法建立的.

用函数的图像表示函数关系的方法就是图像法，如图1-22所示，分别是函数y=x与公式法是用数学式子来表示函数，例如，y=x2 与f（x）=.

图1-22

【即学即练】

判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

① f（x）=（x-1）0定义域为R；g（x）=1定义域为R（答案：是同一个函数）.

② f（x）=x；g（x）=.（答案：不是同一个函数）.

四、复合函数与反函数

函数的运算除了加、减、乘、除运算外，还有一种复合运算.所谓复合运算，就是指如果y是u的函数，u是x的函数，u作为中间媒介y就成为x的函数，这就是函数的复合运算.如下面这个例子所示：

y=,

u=sinx,　y=

一般我们有下列定义：

定义1.2 设有函数y=f（u）与u=φ（x），如果函数y=f（u）的定义域与函数u=φ（x）的值域交集不为空集，那么y=f［φ（x）］就称为复合函数，其中x是自变量，y是因变量，u称为中间变量.

例如y=lnu，u=sinx-1就不能复合成一个复合函数.因为y=lnu的定义域是（0，+∞）.而u=sinx-1的值域是（-∞，0］，显然两者交集为空集不符合定义1.2.

学习复合函数经常有两方面的要求：一方面，需要把几个作为中间变量的函数复合成一个函数，这个复合过程实际上是把中间变量依次代入的过程；另一方面，需要把一个复合函数分解为几个较简单的函数（这些较简单的函数，往往是通过基本初等函数或是基本初等函数与常数的四则运算来求得），这对我们后续学习复合函数的导数及不定积分等都是非常重要的.

初等函数都可以分解为基本初等函数的四则运算或复合运算.方法是先从最外层考察，如果是四则运算，就将运算的每一项设为一个中间变量，然后再考察每个中间变量；如果不是四则运算，那么最外层就是某类基本初等函数，此时将这个基本初等函数自变量位置处的表达式设为一个中间变量，然后再考察这个中间变量.将这种方法向内层反复使用.分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.

例5 判断函数y=arctan是由哪些基本初等函数复合而成.

解：y=arctan是由以下基本初等函数复合而成

y=arctanu,u=,v=x2 -1.

【即学即练】

1.函数y=，u=lnx能否合成符合函数，为什么？（答案：能）.

2.指出下列复合函数的复合过程.

(1)y=sin2x;(2)y=arcsin(lnx)

（答案：（1）y=sin2x是由y=u2，和u=sinx复合而成的.

（2）y=arcsin（lnx）是由y=arcsinu和u=lnx复合而成的）.

例6 设f（x）=，求f[f（x）].

解：把f（x）=中的x换为f（x），得

f[f(x)]=,

再将x代替上式等号右边的f（x），得

f[f(x)]=.

在讨论函数的运算中经常会遇到复合函数中的一种特别结构［f（x）］g（x），既不是指数函数又不是幂函数的函数，为方便叙述我们称为幂指函数.此函数通常应用公式alog_ax=x将其转换成指数函数的复合形式［f（x）］g（x）=ag（x）log_a［f（x）］或［f（x）］g（x）=eg（x）ln［f（x）］进行讨论.

如（sinx）x+2=e（x+2）lnsinx

由基本初等函数经过有限次复合和有限次四则运算得到的并可用一个解析式子表示的函数，统称为初等函数.

例7 下列函数中，哪些是基本初等函数？哪些是初等函数？

(1)y=;(2)y=ex;(3)y=sina;(4)y=2x2;(5)y=sin2 x;

(6);(7);(8)y=1+x+x2 +x3 +…;

(9);(10);(11);

(12).

解：（1）；（2）y=ex；（3）y=sina是基本初等函数.（4）y=2x2；（5）y=sin2 x；（7）；；

（11）；（12）以上都是初等函数.

而（6）y=；（8）y=1+x+x2 +x3 +…；

（9）y=不是初等函数.

注：y=；（←：因为可表示为一个式子所以是初等函数）

y=1+x+x2 +x3 +….（←：因是无限次的和所以不是初等函数）

定义1.3 设函数y=f（x）的定义域为D_f，值域为R_f.如果对值域R_f中每一个y都有定义域中唯一确定的且满足y=f（x）的x与其对应，此时对应法则记为f-1，那么这样确定的函数x=f-1（y）称为y=f（x）的反函数.

x=f-1(y),y∈R_f.

注1：函数x=f-1（y）中y是自变量，其定义域是原函数y=f（x）的值域R_f；x为因变量，其值域是原函数y=f（x）的定义域D_f.

注2：函数x=f-1（y）与y=f（x）互为反函数.

注3：习惯上，用x表示自变量，y表示因变量，因此，反函数x=f-1（y）记为y=f-1（x）.这样y=f（x）与其反函数y=f-1（x）的图像是关于y=x对称的.

观察一个函数y=f（x）是否有反函数，一定要注意对应法则是否保证x与y是一一对应的，然后在y=f（x）中把y看做是已知的，而把x看做是未知量，从y=f（x）中解出x，得到x=f-1（y）的形式，最后把y与x互换，y=f-1（x）就是y=f（x）的反函数.如指数函数y=ax，从中可以解出x=log_ay，再把y与x互换得y=log_ax，我们发现对数函数y=log_ax是指数函数y=ax的反函数.

另外，有些函数在定义域中x与y并不是一一对应的，那么这时可以选取一段，讨论其反函数.

例如，y=sinx在定义域上并不是一一对应的，但在其一个周期内选取包含原点而且单调的定义区间是一一对应的，可以作出其反函数y=arcsinx.

y=arcsinx的定义域是[-1，1]，值域是.

求反函数法的参考步骤：

①确定函数y=f（x）的定义域和值域；

②判断x=f-1（y）中的x与y是否是一一对应的；

③视y=f（x）为关于x的方程，解方程得x=f-1（y）；

④若一个y对应唯一一个x，则将其x换为y，y换为x，即得函数y=f（x）的反函数；

⑤写出反函数的定义域（原函数的值域）；

⑥若求分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，然后综合起来，得出原分段函数的反函数.

例8 设y=3x3+1，求反函数.

解：①定义函数y=3x3+1定义域是R，值域是R；②且是一一对应，这可以从其图像中看出（具体内容下节另述）；③从y=3 x3 +1 中解出；④再把y与x互换就得到反函数也就是；⑤其定义域也是R，值域是R.

注：熟练后不必写出①—⑤步骤.

例9 设y=3x+1，求反函数.

解：函数y=3x+1的定义域是R，值域是（1，+∞），且x与y一一对应，这可以从指数函数的图像中看出（具体内容下节另述）.

由y=3x+1，得3x=y-1，再两边取对数，得

x=log₃(y-1),

再把y与x互换就得到反函数y=log₃（x-1）.其定义域是（1，+∞），值域是R.

【即学即练】

求下列函数的反函数：（1）y=3x-1（x∈R）；（2）y=x3+1，x∈R）.（答案：（1）y=f-1（x）=；（2）y=f-1（x）=）.

五、函数的定义域

确定函数的定义域D在讨论函数的性质时具有重要意义.函数的定义域分为自然（数学解析式）定义域与实际（实际问题构成的数学解析式）定义域。函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值的范围.在求函数的定义域时，要注意下面几点：

（1）含有分式的函数中分母不能为0.

（2）含有开平方或者偶次方式子的函数中，被开偶次方的式子必须大于（或等于）0.

（3）对数函数中真数部分必须大于0.

（4）如果一个函数是若干项式子的代数和，则应在分别求出每一项式子的取值范围后，再取它们的交集就得到该函数的定义域.

（5）用两个或两个以上的解析式联立表示的函数（即分段函数）的定义域就是其各定义区间的并集合.

（6）三角函数与反三角函数的定义域与值域要根据具体情况具体讨论.

例10 求函数的定义域.

解：因为函数中含有开平方的式子，所以要使原函数有意义，必须被开方式x-2≥0.即x≥2，因此，函数的定义域是{x|x≥2}.

例11 求函数的定义域.

解：函数y=tanx的定义域是，k∈Z}.要使原函数有意义，必须，k∈Z，即，k∈Z.

因此，函数的定义域是.

例12 求函数y=log₃（x2-x-2）的定义域.

解：由于对数函数的真数必须大于0，所以要使原函数有意义，必须

x2 -x-2=(x-2)(x+1)＞0,

解上面不等式，得x>2或x<-1.

因此，y=log₃（x2 -x-2）的定义域是{x|x＞2或x＜-1}.

注：从上面的例子可以看出，在讨论定义域的时候，一定要清楚一些基本函数的定义域与值域.如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等.我们将在下节一一列出来.

§1.2 练习题

1.设，求f（2），f（-2），.

2.设，求f（x）.

3.判断下列各组函数中的两个函数是否相同，并写出理由.

(1)f(x)=x2;g(x)=(x+1)2

(2)f(x)=|x|;g(x)=

（3）f（x）=lnx2与g（x）=2lnx

（4）与g（x）=x-3

（5）与g（）x=cosx

（6）f（）x=sec2x-tan2x与g（）x=1

(7);g(x)=

(8);g(x)=x

4.求下列函数的定义域.

(1)　(2)

(3)y=log(1-2x)(4)y=log[log(logx)]

(5)　(6)

5.求下列函数的反函数.

(1)　(2)

(3)　(4)y=2-log₃(x-2)

6.下列函数是由哪些基本初等函数复合而成？

(1)　(2)y=xx

(3)　(4)

7.如果函数f（x）的定义域是（1，2），求函数f（x2-5）的定义域.

8.设f（x）=；求f（-2），f（0）及f（2）的值.

9.设f（x）=；求f（x-1）.

10.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值x₁和x₂的函数值.

（1）y=eu，u=x2+1，当x₁=0，x₂=2时；

（2）y=u2+1，u=ev-1，v=x+1，当x₁=1，x₂=-1时.