第二节　物理化学实验中的误差分析与数据处理

一、误差分析

由于仪器性能、感觉器官的限制以及实验时外界条件的影响，实验者通过实验测得的数据只能达到一定的准确度。因此在着手实验之前要了解测量所能达到的准确程度，实验后对数据的误差要加以分析和处理。在充分了解误差的种类和引起误差的原因之后，才有可能掌握提高测量准确度的途径。

1.误差的种类　测量误差一般可分为系统误差、随机误差和过失误差。

（1）系统误差　在相同条件下，多次测量同一物理量时，测量误差的符号应保持恒定（即恒偏大或恒偏小），其数值基本不变或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。

产生系统误差的原因：①实验方法的理论根据有缺陷，或实验条件控制不严格；②仪器本身不灵敏或刻度不准确，试剂纯度不符合要求；③个人的习惯与偏向，导致读数时恒偏高或偏低等。

根据仪器的精度、外界条件的影响和个人的偏向对测量结果加以校正，系统误差可以基本消除。

（2）随机误差　在相同的实验条件下，多次测量同一物理量时，误差的绝对值时大时小，符号时正时负，呈现随机性，而各次的误差则服从统计规律，这类误差称为随机误差。随机误差产生的原因不详，因而也无法控制，它的出现完全由概率决定。因此，只有增加测量次数，随机误差才能减小。

（3）过失误差　由于测量者粗心或操作不正确等引起的误差称为过失误差。只有经充分证明所测数据的误差确属过失误差，则这一数据才能舍弃，否则只能根据误差理论决定数据的取舍。显然，这种误差在测量中应尽力避免。

2.误差的表示方法　一个量的真值不可能通过实验得出，在实际测量中只能以多次测量数据的平均值X视为“真值”Xn。

式中：X1、X2…为测量值，Xi为第i次测量，n为测量次数。

误差表示的方法有很多，常用的有下列几种：

（1）绝对误差与相对误差　绝对误差E（X）是测量值与真值间的差异；相对误差Er（X）是绝对误差与真值之比。

（2）标准误差　标准误差也称均方根误差，它对一组测量数据中的较大误差或较小误差反映比较灵敏，是表示精确度的较好方法，在近代科学中应用较广。

3.准确度与精密度　准确度是指测量值与真值符合的程度。精密度是指测量中所测数值的重现性好坏。

对于一组实验数据的测量而言，如果准确度高，则测量结果的系统误差小；如果精密度高，则测量结果的随机误差也必然小。显然，测量准确度高，则精密度也一定高；但精密度高，准确度不一定也高。

4.有效数字　任何测量的准确度都是有限的，有效数字是指该数字在一个数量中所代表的大小，到底应该用几位数字来表示测量结果，是由仪器的精度和测量者感官的灵敏程度所决定的。既不能把准确度提高到超过测量允许的范围，也不能低于测量所能达到的精密度。

前曾述及，任何物理测量的真值X，都不可能由实验测得，所能测得的只能是多次测量结果的平均值。这种平均值都有一个不确定的范围，临界绝对值设为a。因此，物理量的测量结果应表示为，而在具体记录测量数据时的位数没有必要超出a所限定的范围。

关于有效数字和运算法则可以简述如下：

（1）数字“0”有时是有效数字，有时不是有效数字，有时则难以确定。例如下列数据：

（a）1980　（b）1908　（c）0.1980　（d）0.0001980　（e）1908000

（a）（b）两个数据中的“0”都是有效数字，有效数字都是四位。（c）（d）两个数据中表示小数点位置的“0”不是有效数字，有效数字也都是四位数。数据（e）尾部三个“0”是否是有效数字则难以确定。为了避免这种困难，通常将上列数据用科学计数法表示为1.908×106，这就表明它是四位有效数字。

（2）有效数字最后一位的位数应与误差的最后一位一致，如35.24±0.01是正确的，而35.245±0.01和35.2±0.01则意义不明确。

（3）有效数字位数越多，数值的精确度也越大，相对误差越小，如：

1.35±0.01　 三位有效数字，相对误差0.7%

1.3500±0.0001　五位有效数字，相对误差0.007%

（4）在计算有效数字位数时，若第一位数字等于或大于8，则有效数字位数可多计一位，例如：9.25有效数字是三位，但计算有效数字时，可作四位计算。

（5）在运算中，舍弃过多的不定数字时，运用“4舍6入，逢5尾留双”的法则，如将下列数整化为三位数时，则得

12.345为12.3；12.367为12.4；12.350为12.4；12.450为12.4

（6）在加减运算中，各数值小数所取的位数，以其中小数点后位数最少的为准。

（7）在乘除运算时，所得积或商的有效数字，应以各数值中的有效数字位数最少的值为准。

（8）在对数运算时，对数尾部的位数应与各值的有效数字位数相等，例如求lg74568得4.8725525，因所给数值是五位有效数字，所以对数尾数是五位有效数字，故最后结果为lg74586=4.87255。

5.间接测量结果的误差计算

大多数物理化学参数要根据测量所得的几个物理量，通过运算得到所需要的结果，这种方法称为间接测量。在间接测量中，每个直接测量结果的准确度都会影响最后结果的准确性。在实验进行之前，计算各测定值的误差及其影响，能帮助选择正确的实验方法，选用精密度相当的仪器，抓住测量中的关键，以得到较准确的结果。