1.1 Lebesgue测度空间及其性质

定义1.1.1 设Ω是实数空间R的一个非空子集，为Ω的一些子集构成的集合，集函数μ定义在上，且满足下列条件：

（1）μ（∅）=0；

（2）∀A∈，μ（A）≥0；

（3）μ具有可列可加性，即设，且两两不交，那么

则称μ为上的测度.

例如，设Ω=R，为R上的一些区间构成的集合，则这些区间的长度λ就构成的一个测度.

为了进一步讨论测度的性质，下面引入外测度的定义.

定义1.1.2 ∀E⊂R，记

Z_E= 为区间列，且

称为集合E的外测度，其中λ（I_k）表示区间I_k的长度.

由Z_E≥0知，m*（E）必存在.

定义1.1.3 设∀A∈，如果A总能被总长度任意小的区间列所覆盖，则称A为零集.即∀ε＞0，∃区间列，使得，则称A为零集.

下面不加证明地列出一些测度与外测度的性质，对其证明感兴趣的读者请查阅相关的实变函数教材.

定理1.1.1 （1）空集是零集；（2）R上可数集是零集；（3）可列个零集的并仍是零集；（4）∀E⊂R，E为零集⇔m*（E）=0.

定义1.1.4 设E⊂R，如果对任一A⊂R均有

m*（A）=m*（A∩E）+m*（A∩Ec）

则称集合E为Lebesgue可测集.用M表示R上全体Lebesgue可测集的集合.

定理1.1.2 （1）R中任一零集是Lebesgue可测集.

（2）R中任一区间是Lebesgue可测集.

（3）若E₁∈M，E₂∈M，则E₁∩E₂∈M，E₁∪E₂∈M，E₁-E₂∈M，∈M.

（4）若E_i∈M，i=1，2，…，则；若E_i∩E_j∈∅，i≠j，则

定义1.1.5 设Ω是一个非空集合，为Ω的一些子集构成的集合.

（1）Ω∈；

（2）若A∈，则Ac∈；

（3）若A₁，A₂，…∈，则.

那么称为一个σ-代数.

定义1.1.6 设Ω是一个非空集合，为Ω上的一个σ-代数，μ为上的一个测度，则称（Ω，，μ）为一个测度空间.

由定理1.1.2知，M是R上的一个σ-代数.

定义1.1.7 ∀E∈M，称m（E）=m*（E）为E的Lebesgue测度，称测度空间（R，M，m）为Lebesgue测度空间，称m为M上的Lebesgue测度.

R上的Lebesgue测度是R中一些特殊集合上的外测度，它有下列性质.

定理1.1.3 设（R，M，m）为Lebesgue测度空间.

（1）R上任一区间的Lebesgue测度就是该区间的长.

（2）零集的Lebesgue测度为零.

（3）设A，B∈M，则

（a）如果A⊂B，那么m（A）≤m（B）；

（b）如果A⊂B，且m（A）有限，那么m（B-A）≥m（B）-m（A）.

（4）m具有平移不变性.即m（A+{t}）=m（A），其中，t为R中的单点，A+{t}={a+t|a∈A}.

（5）设A，AΔB∈M，且m（AΔB）=0，则B∈M，且m（A）=m（B），其中，

AΔB=（A-B）∪（B-A）

M上的Lebesgue测度就是M上的外测度，当A⊂R且不属于M时，它没有Lebesgue测度，但它有外测度.

定理1.1.4 设（R，M，m）为Lebesgue测度空间，m*为R上的外测度.

（1）任给A⊂R，ε＞0，必存在开集G，使A⊂G，且

m（G）≤m*（A）+ε

（2）任给A⊂R，必存在开集列，使，且

（3）任给E∈M，ε＞0，必存在闭集F，使F⊂E，且

m（E-F）≤ε

（4）任给E∈M，必存在闭集列，使，且

定理1.1.5 设（R，M，m）为Lebesgue测度空间，⊂M.

（1）如果单调增加，即A_n⊂A_n+1，那么

（2）如果单调减小，且m（A₁）＜∞，那么

前面定义了R上的Lebesgue σ-代数，下面定义另一种常用的σ-代数——Borel（博雷尔）σ-代数.

定义1.1.8 设是Ω的一些子集构成的集族，如果不是一个σ-代数，则称包含的最小σ-代数为由生成的σ-代数，记为σ）.如果是一个σ-代数，则生成的σ-代数σ）就是它本身.

定义1.1.9 称由R上所有区间（包括开区间、闭区间、半开半闭区间）生成的σ-代数为Borel σ-代数，记为β（R）.β（R）中的元素称为Borel集.

对任一x∈R，由（-∞，x）∈β（R），（-∞，x］∈β（R）知x=（-∞，x］∩［x，+∞）∈β（R）.

定理1.1.6 R上所有开集、闭集、任一有理数集、任一区间上的所有无理数构成的集合均为Borel集.

定理1.1.7 下列集族生成的σ-代数均为β（R）：

（1）所有半开半闭区间；

（2）所有开区间；

（3）所有闭区间；

（4）所有开集；

（5）所有闭集；

（6）集族{［a，+∞）|a∈R}；

（7）集族{（-∞，a］|a∈R}；

（8）集族{（-∞，a）|a∈R}；

（9）集族{（a，+∞）|a∈R}.

定理1.1.8 β（R）是由所有开区间经可列次交、并、余、补得到的集合.

前面已经定义了两个R上的特殊σ-代数，一个为Lebesgue σ-代数M，另一个是Borel σ-代数β（R），下面讨论这两个σ-代数之间的关系.

由于M包含R中的所有区间，而β（R）是由R中所有区间生成的σ-代数，故

β（R）⊂M

实变函数中有例子说明：存在A∈M，但A∉β（R），因而β（R）是M的真子集.

定义1.1.10 设（Ω，，μ）为一测度空间，如果的任一零集的任一子集仍属于，则称（Ω，，μ）为完备的测度空间.

定义1.1.11 设（Ω，，μ）为一测度空间，是包含且满足下列条件的最小σ-代数：∀A∈，E⊂A，如果μ（A）=0，那么E∈.即若为包含且包含的任一零集的所有子集的最小σ-代数，则称为的完备化.

定理1.1.9 M是β（R）的完备化.