1.2 电磁场数值计算有限元法介绍

经过80多年的发展，有限元法已成功应用于电磁场、应力场、温度场、流体场及多物理场耦合分析等领域。有限元法的基本思想是将有限大小连续分布的求解区域划分为有限个简单形状的子区域，这些子区域称为“单元”或“有限元”。在每个单元内用满足一定连续性条件的分片光滑函数（形状函数）来近似表示局部单元内的场量分布，每个单元的场量分布拼接起来形成整个求解域上待求的场函数分布。单元基函数（形状函数）的构造应满足一定的局部连续性及整体连续性，工程电磁场数值计算中常用的基函数包括标量节点元（一阶及二阶、三角形或者四面体）和棱单元（单元界面处仅满足切向分量连续性）等。

与某个节点相关联的单元形状函数拼接形成帐篷函数，即有限元空间的基函数。通过确定一组基函数下的展开系数（未知场函数在单元节点或棱边上的插值系数），可以在有限元空间按照某种度量逼近待求问题的真解。插值系数的确定需要求解与原偏微分方程定解问题等价的积分形式的变分问题。通过构造有限元空间的局部非零基函数，可以使得变分方程在每个单元上的积分运算非常简单。经过对每个单元进行遍历计算，再将单元分析的结果（包括单元系数矩阵及右端项）合成起来，就可以得到以全部插值系数为未知量的整体矩阵方程。同时因为有限元基函数仅在局部几个单元非零，所以最后生成的系数矩阵为稀疏矩阵，结合当代稀疏矩阵求解技术可更进一步加快求解过程。有了网格数据之后，有限元法的单元分析、整体合成及边界条件的处理都有了成熟的计算机编程算法，很容易使用计算机处理来实现有限元计算。下面以一个简单的例子说明有限元法的基本原理。