第2章 电磁场[1,4,5]

2.1 表征电磁场特性的物理量

21 电荷与电荷守恒定律

电荷是物质的固有属性之一。任何物体内部都存在正负两类电荷。通常，物体中正负电荷数量相等。当物体失去或得到一定量的电子时，就表现为带正电或负电。目前已知的最小电荷量为电子的电量e=1.602×10-19C。同类电荷相排斥，异类电荷相吸引是电荷的一种基本属性。

电荷遵从电荷守恒定律，表现为任何时刻，存在于孤立系统内部的正负电荷的代数和恒定不变。电荷守恒定律的数学表示为

式中 ρ——电荷体密度。

22 电容率与磁导率

（1）电容率也称介电常数。各向同性的线性电介质的电容率ε（F/m）是常量，表示为

ε=ε₀+χ=ε₀ε_r

式中 ε₀——真空电容率（F/m）,ε₀=8.85×10-12F/m；

χ——电极化率（F/m），数值取决于介质材料的性质；

ε_r——相对电容率，无量纲。常见介质的相对电容率见表2.2-1。

（2）磁导率 真空磁导率μ₀和真空电容率ε₀及真空中的光速c₀（即电磁波在真空中的传播速度，c₀=2.998×108m/s）满足关系式：

因此，可得μ₀=4π×10-7H/m。

其他各向同性的线性磁介质的磁导率μ（H/m）是

μ=μ₀（1+χ_m）=μ₀μ_r

式中 χ_m——磁化率，数值取决于介质材料的性质，没有量纲；

μ_r——介质的相对磁导率，没有量纲。

一般非铁磁性材料的μ_r≈1，其磁导率都可近似地认为等于μ₀。对于铁磁质和亚铁磁质，其μ_r远大于1，而且是与磁感应强度B有关的变量。

23 电场强度与电力线

（1）电场强度（简称场强）E（x，y，z） 描述电场的基本物理量（V/m），定义为

式中 F——试探电荷在点（x，y，z）处所受到的电场力（N）；

q₀——电量和尺寸都很小的正试探电荷（C）。

电场强度是一个矢量，其方向与正试探电荷所受到的电场力的方向一致。

（2）电场强度的叠加原理 在线性介质中，所有电荷在空间某一点产生的场强等于每一个点电荷或电荷元dq在该点上单独产生的场强的叠加，对于点电荷电场有：

对于连续分布电荷的电场：

式中 r——源点与场点间的距离（m）；

e_r——由源点指向场点的单位矢量。

几种典型电荷分布的电场强度见表2.2-2。

（3）电力线 形象化地描写电场分布而画出的一些有方向的曲线，见图2.2-1。曲线上任一点的切线方向与该点E的方向一致；电力线的疏密程度正比于E的大小；电力线不能相交；恒定场中的电力线起始于正电荷，终止于负电荷，电力线与等位面处处正交，与导体表面亦正交。

24 极化强度与极化电荷

在外电场作用下，电介质内量值相等的正、负电荷作用中心在空间拉开一个很小的距离形成一个个电偶极子，使电介质呈现电性，这种现象称为极化。因极化而出现在介质表面及体内的宏观电荷称为极化电荷，它产生的附加电场与外电场合成形成电介质内的电场。

用电矩p（C·m）表征电偶极子的特性：

p=qh

式中 h——负电荷指向正电荷的有向距离（m）。

电介质极化后，单位体积内形成的电矩矢量和称为极化强度P（C/m2），即

在各向同性的线性电介质中，P与合成电场E成正比，即

P=χE

极化电荷的面密度

σ_e=e_n·P

式中 e_n——介质表面外法线单位矢量。

极化电荷体密度

ρ_e=-Δ·P

25 电位移D

D（C/m2）又名电感应强度，是研究有电介质时电场的规律而引入的辅助物理量，它的定义式为

D=ε₀E+P

对于各向同性的电介质

D=εE=ε₀ε_rE

26 电位与电位差

电位φ（V）是表征电场特性的物理量。场中任一点P相对于参考点Q（其电位为零）的电位定义为

φ_P表示单位正电荷从P点移到Q参考点时电场力所做的功，它只与P点的位置有关，而与所取的积分路径无关。电位的参考点可以任意选择，一般常取无限远点或大地。典型静电场的电位或电位差见表2.2-3。

两点间的电位之差称电位差或电压，即

U_ab=φ_a-φ_b

电场强度可用电位梯度表达：

式中 e_n——该点电位有最大增长率方向上的单位矢量；

n——该方向的距离。

电位相等的点所组成的曲面称为等位面，它与电力线处处正交。

27 磁感应强度与磁力线

（1）磁感应强度B B也称磁通密度（T），是描述磁场特性的物理量。如已知在无限大，均匀各向同性媒质中有电流密度矢量J（x′，y′，z′）的分布，则空间任一点的B服从毕奥—萨伐定律：

式中 μ——磁导率；

dV——源点处的体积元（m3）；

e_r——源点指向场点的单位矢量；

r——dV到场点（x，y，z）的距离。

对于线形电流I，由于JdV=Idl′

式中 dl′——源点处的长度元（m）。真空中电流产生的磁感应强度见表2.2-4。

（2）磁力线 描述磁场分布的有向曲线，也称磁感应线。磁力线上任一点的切线方向就是该点B的方向；磁力线的疏密正比于B的大小；磁力线不能相交，它是环绕电流的闭合曲线。

28 磁化强度与磁化电流

物质每个分子中的运动电子对外产生的磁效应，可等效为一个小环形电流，称为分子电流，分子电流的磁矩称分子磁矩，用m（A·m2）表示

m=IS

式中 I——分子电流强度；

S——分子电流围成的面积。

在没有外磁场作用时，分子磁矩总和为零，物质对外不显磁性。在有外磁场作用时，分子磁矩受外磁场转矩作用而转动，总磁矩不再等于零，物质对外呈现磁性。这种现象称为物质的磁化。

在物质中每单位体积内所有分子磁矩的矢量和称为磁化强度M（A/m）

介质磁化时，由于分子电流的有序排列，从而使介质表面及内部在宏观上显现出未被抵消的电流，这种电流叫磁化电流。

介质表面的磁化电流线密度。

K _m=M×e_n

介质内的磁化电流面密度

J _m=Δ×M

29 磁场强度

H（A/m）是为研究有介质时的磁场而引入的一个辅助物理量，定义为

对于各向同性的导磁物质

对于抗磁质和顺磁质，磁化强度与磁场强度成正比

M=χ_mH

对于铁磁物质，M和H的关系一般是非线性的。

30 磁位与磁矢位

（1）磁位φ_m φ_m（A）是计算磁场的一个辅助场量。在无传导电流分布的区域，φ_m与磁场强度的关系为

H=-Δφ_m

磁位相等的各点形成的曲面称为等磁位面，它与磁场强度H线处处正交。

磁场中某点P相对于参考点Q的磁位φ_mP，亦即P、Q两点间的磁压U_mPQ定义为

磁位是多值的，其值与积分路径有关。在均匀各向同性的线性导磁媒质中磁位满足拉普拉斯方程。

（2）磁矢位A A（Wb/m）也是计算磁场的一个辅助场量。它与磁感应强度B的关系为

显然有一系列的A满足式（2.2-1），为了简便，规定

Δ·A=0

上式称为库仑规范。在有电流区域磁矢位满足泊松方程。

31 通量

电场强度E的通量Φ_E和电位移矢量D的通量Φ_D分别是

磁感应强度B的通量Φ_m是

2.2 电磁场的基本定律

32 库仑定律

它是描述点电荷间相互作用力的定律。无限大真空中，两个相距为r（10-7＜r＜107m），电荷分别为q₁和q₂的两个静止点电荷之间的相互作用力为

式中 e_r——两个点电荷之间连线方向的单位矢量。

33 高斯定律

在电场中，穿出任意闭合面S的电位移D的通量，等于这一闭合面内自由电荷q的代数和：

该式说明D线起始于正的自由电荷，而终止于负的自由电荷。

34 磁通连续性原理

在磁场中，穿出任一闭合面的磁感应强度B的通量恒为零：

该式说明环绕电流回路的磁力线是连续的闭合线。

35 安培环路定律

在磁场中，沿任意闭合路径磁场强度H的线积分等于穿过积分路径所限定面积上的传导电流I的代数和，即

∮H·dl=∑I

式中，当积分路径的绕行方向和电流的方向符合右手螺旋关系时，则取电流I为正，反之为负。

36 电磁感应定律

通过一闭合回路的磁通量ϕ_m变化使回路中出现电动势的现象称为电磁感应，所产生的电动势称为感应电动势E，它与穿过回路的磁通量Φ_m随时间变化率的负值成正比：

式中，感应电动势的参考方向和磁通量Φ_m的参考方向按照右手螺旋关系标定，见图2.2-2。

即感应电动势总是企图产生感应电流来阻止回路中磁通的变化。

如果回路是匝数为N的线圈，通过各匝线圈的磁通量为Φ₁，Φ₂，…，Φ_n，当磁通量变化时，整个线圈的总电动势等于各匝线圈中的电动势之和：

式中 Ψ_m——磁通链或全磁通。如果穿过每匝线圈的磁通量均为Φ_m，则：

由于磁场随时间变化而在一静止回路中产生的感应电动势叫感生电动势，即

当回路的整体或局部相对于恒定磁场B运动而产生的感应电动势叫动生电动势，即

在一般情况下，回路中的感应电动势为这两种电动势之和：

回路中的感应电动势可看作是沿回路上的感应电场力对单位正电荷所作的功，在不考虑回路运动的情况下，有

式中 E_i——感应电场强度；dS的方向和l绕行方向符合右手螺旋关系。上式说明，电场不仅可由电荷产生，而且也可由随时间变化的磁场产生。

37 全电流定律

在电磁场中，传导电流与位移电流的总和称为全电流。

（1）传导电流 导电媒质中自由电荷的定向运动所形成。传导电流密度J（A/m2）为

J=ρv

式中 ρ——电荷的体密度；

v——电荷运动的平均速度。传导电流服从欧姆定律：

J=γE

（2）位移电流 电位移D随时间的变化所形成。位移电流密度为

全电流具有连续性，即穿过任一闭合面S的全电流为

位移电流在产生磁场的效应上完全和传导电流等效，这样把安培环路定律中的∑I看作全电流，得出全电流定律：

该式说明，磁场不仅由传导电流产生，而且也由随时间变化的电场产生。

38 电磁场的基本方程组

概括电磁场分布变化规律的四个方程式见式（2.2-3）、（2.2-4）、（2.2-5）和（2.2-6），称为电磁场基本方程组的积分形式，亦称麦克斯韦方程组的积分形式。其相应的微分形式是

对于各向同性的媒质，其电磁性能方程是

D=εE

B=μH

J=γE

电磁场基本方程组全面地描述了电磁场的空间分布和随时间变化所遵循的规律，说明变化的电场会产生磁场，变化的磁场也会产生电场，因此任何电磁扰动都将以有限速度（光速）向空间传播，形成电磁波。

式（2.2-7）中若场量不随时间变化，可得静电场、恒定电场和恒定磁场的基本方程的微分形式。即：静电场基本方程

恒定电场基本方程

恒定磁场基本方程

39 电磁场中两种媒质分界面上的衔接条件

电磁场的场量从两种不同媒质分界面的一侧过渡到另一侧时所遵循的变化规律称为衔接条件。用1，2表示两种媒质，则

式中 K、σ——分别为分界面处的电流线密度和自由电荷面密度。场量的切线分量用下标t表示，场量的法线分量用下标n（由1媒质指向2媒质）表示。

2.3 电容、电感、能量和力

40 电容

两个导体，带等量异号电荷Q，两导体间的电压为U，其电容（F）定义为

电容的大小与两导体的形状、尺寸、相互位置及导体间的介质有关。几种典型结构的电容计算公式见表2.2-5。

由多个导体组成的系统，它们的电荷与电压的关系要用多个参数（部分电容）描述。

41 电感

（1）自感 电路中因自身电流变化而出现感应电动势的现象叫自感。自感总是正值。

一个载流线圈的自感L（H）定义为

式中 N——线圈匝数；

Φ_m——穿过该线圈的磁通（Wb）；

Ψ_m——与该线圈交链的磁链（Wb）；

I——线圈中的电流（A）。

（2）互感 因一线圈中的电流变化在邻近另一个线圈中出现感应电动势的现象叫互感。两个线圈之间的互感M₂₁（H）定义为

式中 M₂₁——线圈1对线圈2的互感；

Ψ₂₁——线圈1中的电流I₁产生的磁通与线圈2交链的磁链。

同样，线圈2对线圈1的互感是

可以证明M₁₂=M₂₁。互感有正负。

自感、互感和线圈形状、大小、匝数及媒质分布有关。互感还与两线圈间相互位置有关。几种典型结构的自感和互感计算公式见表2.2-6。

42 电阻与接地电阻

导电媒质的电阻R（Ω）定义为

根据静电比拟，R与静电场的电容有如下关系

实际问题中为了人身与设备的安全，通常要求接地，接地电阻主要决定于电流从接地器流经大地的土壤电阻，其值为

几种典型接地器的工频接地电阻计算式见表2.2-7。

当大电流经接地器流入土壤时，接地器附近地面有较高电场，人在此区域内两足间的电位差称为跨步电压U₀（V）：

式中 b——两足间距离（m）；

l——距接地器中心的距离（m）。

43 电磁能量

在线性媒质中，电磁场某一点的电磁能量密度瞬时值w（J/m3）为

式中 ——电场能量密度；

——磁场能量密度。

电磁场某一体积V中储存的电磁能量为

44 电磁力

电荷、电流在电磁场中所受力的总称。

（1）静电力的计算

1）两个点电荷之间的相互作用力用库仑定律计算，参见式（2.2-2）。

2）点电荷q在电场E中所受到的力

f=q·E

3）带电体或媒质受到的电场力在广义坐标g方向的分量f（N），与静电场的能量W_e有以下关系：

4）法拉第观点认为，电场中由E线组成的每一段电力线管沿轴向的张力和侧面的压力在单位面积上的量值都为

（2）磁场力的计算

1）点电荷q在磁场B中以速度v运动所受的力称为洛仑兹力，为

f=q（v×B）

2）磁场作用于载流导线l上的力

式中 Idl——载流导线上的电流元。

3）载流导体或媒质受到磁场力在广义坐标g方向的分量f与磁场能量W_m有以下关系

4）法拉第观点认为，磁场中B线组成的每一段磁力线管沿轴向的张力和侧面的压力在单位面积上的量值都为

2.4 电磁场的传播、损耗和效应

45 理想介质中的均匀平面波

在理想介质的无源区，电场强度E和磁场强度H均满足波动方程

等相位面为平面，且在等相位面上各点场强相等的电磁波称为均匀平面电磁波。均匀平面电磁波的电场和磁场在空间相互垂直，且都垂直于传播方向，称为横电磁波（TEM波）。

在无限大理想介质中，沿x方向传播的随时间作正弦变化的均匀平面电磁波（设E=E_ye_y，则H=H_ze_z）的表达式为

式中 ——电场入射波有效值；

β——相位常数（rad/m），；

θ_E——电场入射波的初相；

Z ₀——波阻抗（Ω），。

46 有耗媒质中的均匀平面波

在有耗媒质的无源区，E、H满足的方程为

在无反射情况下，有耗媒质中沿x方向传播的正弦均匀平面波的表达式为

式中 α——衰减常数（Np/m）；

β——相位常数（rad/m）；

ε′——等效介电常数（F/m）。

当波在良导体中传播时，由于良导体满足条件，因而有

由于α、β都是频率的函数，因此不同频率的信号经过同一距离后幅值的衰减及相位的滞后量都不同，这种现象称为色散。具有色散性质的媒质称为色散媒质，有耗媒质都是色散媒质。

47 趋肤效应、邻近效应和电磁屏蔽

（1）电磁场在导电媒质中按指数规律衰减。定义电磁波进入导体内场量衰减到表面值的1/e（即36.8%）时的深度d为透入深度：

电磁场集中分布在导体表面附近的这种现象称为趋肤效应。它增加了导体的电阻，减少了内电感。几种常用材料在不同频率下的透入深度见表2.2-8。

（2）对多导体系统，由于导体之间电磁场的相互作用，影响了导体中传导电流分布的现象称为邻近效应。当导体截面较大，相距很近或频率很高时需考虑邻近效应。

（3）电磁屏蔽 防止或者减少电磁波进入空间某些部位的措施。

1）静电屏蔽：利用接地的导体空腔将空腔内外的场分割为两个互不影响的独立系统。

2）磁屏蔽：利用铁磁材料μ_r>>1的特点制成有一定厚度的外壳，使置于其内的设备少受磁干扰。常用屏蔽系数k来表示屏蔽效果，当μ_r>>1时

式中 R₁、R₂——铁磁壳体的内外半径。

3）电磁屏蔽：利用良导体能阻止高频电磁波透入这一特性可做成电磁屏蔽装置。屏蔽层的厚度必须接近于被屏蔽的电磁波的波长。高频电磁波几乎不能透入铜、铝、铁等金属，所以这些材料常用作电磁屏蔽材料。

48 涡流损耗、磁滞损耗和电介质损耗

（1）涡流损耗 交变电磁场中，由于电磁感应在导电媒质里引起的环形电流称为涡流。因涡流引起的损耗称涡流损耗。减小涡流损耗常采用切断涡流路径的办法，如用硅钢片叠制成铁心。宽度为2b的无限大薄平板中的涡流损耗：

式中 H_m——薄板表面磁场强度的最大值；

d——透入深度。

（2）磁滞损耗 由于磁性材料在交变磁场作用下存在不可逆的磁化过程而引起的能量损耗称磁滞损耗。可按下述经验公式计算：

式中 B_m——磁滞回线上磁感应强度的最大值；

η，n——与材料有关的常数；

V——铁磁物质的体积。

（3）电介质损耗 可分成两部分，一是由于电介质都存在微弱导电性而引起的电导损耗；二是由与电介质有关的极化而引起的损耗。不同材料的介质损耗均用损耗角δ的正切表示

式中 G——电介质样品的全部有功电导；

C——电介质样品的全部电容。

49 均匀传输线

当传输线（平行双导线或同轴线）的长度l与线上传递信号的波长λ可比拟时，电磁波沿线传播所需的时间不能忽略，传输线必须用分布参数的电路模型（见图2.2-3）来描述。沿线参数均匀分布的传输线称为均匀传输线。线上各点的电压、电流均为x的函数，模型中R₀、L₀、G₀、C₀分别是传输线单位长度的电阻、电感、电导和电容，称为传输线的原参数。

（1）均匀传输线的方程：

如果均匀传输线的R₀、G₀可忽略不计，称为无损耗传输线。其上的电压电流满足如下的波动方程：

（2）均匀传输线方程的正弦稳态解 在正弦情况下，沿线电压、电流满足相量形式方程：

式中 Γ——传输线的传播常数，

α——衰减常数；

β——相位常数。

设传输线终端为坐标原点，若已知线路终端的电压和电流，则沿线电压、电流的分布为

式中 Z₀——传输线的特性阻抗，

对于无损耗传输线有

（3）均匀传输线的输入阻抗定义：

式中 Z₂——传输线终端负载阻抗，显然Z_in是传输线长度和负载的函数。

（4）反射系数与匹配

1）反射系数：定义传输线上某点的反射波电压和入射波电压的比值为反射系数。传输线终端反射系数为

2）匹配：如传输线终端所接负载的阻抗Z₂=Z₀，此时反射系数Γ=0，即不存在反射波，这种情况称为负载与线路匹配，匹配时沿线各点的Z_in=Z₀，线路的传输效率接近最高值，η=e-2al。

（5）无畸变传输线 当有损耗传输线的原参数满足条件：

这时，为常量，与ω成正比，于是对不同频率的信号不会产生振幅及相位畸变。称式（2.2-8）为无畸变条件，满足无畸变条件的传输线为无畸变线、无损耗线一定是无畸变线。