1.3.4 有效数字与相对误差
根据有效数字与相对误差的概念可以得出二者之间的关系。
定理1-1 若近似数x*=±0.x1x2…xn…×10m具有n位有效数字，则其相对误差
证 由于
又由于x*具有n位有效数字，则
所以有
实际应用中，可以取
由于n越大，
越小，所以有效数字位数越多，相对误差就越小。
例1-8 取3.14作为圆周率π的四舍五入的近似值时，试求其相对误差。
解 四舍五入的近似值3.14，其各位都是有效数字，即n=3，所以
3.14作为圆周率π的四舍五入的近似值，由绝对误差计算出的相对误差是0.159%（见例1-4），而由有效数字计算出的相对误差是0.17%，前者比后者准确程度好，这是因为后者代表了从3.00到3.99具有3位有效数字时的相对误差，而前者只代表3.14时的相对误差。
例1-9 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相对误差
。
解
但第一位有效数字x1未给出，所以有
可按最不利的情况估计取x1=1，此时相对误差
=5%为最大。
定理1-1中的条件只是一个充分条件，而不是必要条件。近似数的有效数字位数越多，其相对误差就越小。但是，相对误差越小，有效数字位数只是可能多。例如，如果一个近似数x*的相对误差满足定理的表达式，并不能保证x*一定具有n位有效数字。这由定理的证明过程可以看出。举例来说，x=sin29°20′=0.4900，取一个近似值x*=0.484，其相对误差
不能由此推出x*有两位有效数字，这是因为
可知近似值x*并不具有两位有效数字。
在实际应用时，为使所取的近似数的相对误差满足一定的要求，可以用式（1-8）来确定所取的近似数应具有多少位有效数字。
例1-10 求
的近似值，使其相对误差不超过
。
此题的含义是取几位有效数字就能使近似数的相对误差不超过
，而不是已知该近似值的相对误差不超过
时有几位有效数字。
解 因为
=2.4494…，则x1=2，设x*有n位有效数字，由定理
×10-（n-1）有
求出满足此不等式的最小正数n=4，故取x*=2.449。
由于定理1-1是对所有具有n位有效数字的近似数都正确的结论，故对误差限的估计偏大。对本例题，根据相对误差确定具有的有效数字位数有可能偏多，实际上取3位有效数字时就能满足题目要求，取2.45作为近似值，其相对误差
已小于
×10-3。
已知近似数的相对误差时，可用如下定理确定其有效数字的位数。
定理1-2 若近似数x*=±0.x1x2…xn…×10m的相对误差
则该近似数至少具有n位有效数字。
证 因为
由有效数字定义可知，x*具有n位有效数字。
例1-11 已知近似数的相对误差为0.25%，问可能有几位有效数字。
解 代入式（1-9）
x1未给出，取
按最不利的情况取，x*至少有两位有效数字。
定理1-2中的条件也只是一个充分条件，而不是必要条件，即若x*具有n位有效数字，其相对误差也不一定满足定理的表达式。因为定理的表达式成立时，x*的有效数字可能多于n位。
例1-12
具有3位有效数字，取近似数
可知，x*=4具有一位有效数字，但其相对误差
不满足式（1-9）。
在实际应用时，为了使取的近似数具有n位有效数字，要求所取的近似数的相对误差满足式（1-9）。
从绝对误差、相对误差、有效数字的定义和定理1-1、定理1-2可以看出，有效数字的位数表征了近似数的精度；绝对误差与小数点后的位数有关；相对误差与有效数字的位数有关。
在数值计算中，一般都认为所有原始数据都是有效数字。计算值具有有效数字位数的多少是评定计算方法好坏的主要标准。