第二节 投入产出基本模型
一、价值型投入产出表的平衡关系
价值型投入产出表可以按行、按列以及行与列之间分别建立起平衡关系。
（一）各行的平衡关系
各行的平衡关系为：各行的中间产品+各行的最终产品=各行的总产品。其数学表达式为
即
这些平衡关系反映了各产业部门产品的流向。
（二）各列的平衡关系
各列的平衡关系为：各列的生产资料转移价值+各列新创造价值=各列的总产值。其数学表达式为
即
各列的平衡关系说明了各产业部门的价值形成的产出过程，反映了每一产业部门的产出与各产业部门为之投入的平衡关系。
（三）行与列之间的平衡关系
横行各产业部门的总产出等于相对应的同名称的纵列各产业部门的总投入。其数学表达式为
最终产品总量等于国民收入总量和固定资产折旧总量之和，需求部分和附加价值部分相等。其数学表达式为
二、投入产出模型
投入产出模型是由系数、变量的函数关系组成的数学方程组构成。其模型建立一般分两步：第一步，依据投入产出表计算各类系数；第二步，在第一步基础上，依据投入产出表的平衡关系，建立投入产出的数学函数表达式，即投入产出模型。
（一）各类系数
1．直接消耗系数
直接消耗系数又叫投入系数，其经济含义是生产单位j产品所直接消耗的i产品的数量，直接消耗系数的计算公式为
用矩阵形式表示则为
式（1-7）中
矩阵A就是直接消耗系数矩阵，反映了投入产出中各产业部门间的技术经济联系和产品之间的技术联系。直接消耗系数是建立模型最重要、最基本的系数。
2．直接折旧系数
直接折旧系数的经济含义是某产业部门生产单位产品所提取的直接折旧费用的数额。其计算公式为
其中，aDj表示第j产业部门单位产品所提取的折旧费。
3．国民收入系数
国民收入系数也称净产值系数，表示某产业部门生产单位产品所创造的国民收入或净产值的数额。其计算公式为
其中，aNj表示j部门生产单位产品所创造的国民收入数额。
4．完全消耗系数
由于各产业的产品在生产过程中除了与相关产业有直接联系外，还与有关产业有间接联系，从而使得各产业的产品在生产中除了直接消耗，还存在间接消耗，完全消耗系数是对这种直接消耗联系与间接消耗联系的全面反映。完全消耗系数在投入产出分析中起着重要的作用，它能深刻地反映一个部门的生产与本部门和其他部门发生的经济数量关系，因此，完全消耗系数比直接消耗系数更本质、更全面地反映部门内部和部门之间的技术经济联系，这对正确地分析国民经济、产业结构十分重要。除此之外，完全消耗系数对经济预测和计划制订也有很大的作用。
完全消耗系数的经济含义是某产业部门单位产品的生产，对各产业部门产品的直接消耗量和间接消耗量的总和。也就是说，完全消耗系数等于直接消耗系数与间接消耗系数之和。用公式表示为
其中，bij为完全消耗系数，表示生产单位j产品直接消耗和间接消耗i产品数量之和（i=1，2，…，n）；aij为直接消耗系数，其含义如前所述；
为间接消耗系数，其中k为中间产品部门，
表示通过k种中间产品而形成的生产单位j产品对i产品的全部间接消耗量。
用矩阵表示，即
式（1-11）中
（I-A）-1是（I-A）的逆阵。
上述系数的确立，为建立一系列的投入产出模型做了准备。
（二）投入产出两个基本模型
1．按行平衡关系式建立的投入产出模型
由直接消耗系数
，得到xij=aij×Xj，并将其代入上文按行建立的平衡关系式，就得到如下投入产出模型
用矩阵变换，上述投入产出方程组模型可转换成
（I-A）X=Y
其变换过程是：
用和式号表示上述方程组，则为
由式（1-14）移项得
将式（1-15）变换成矩阵，则得到
式（1-16）中
（I-A）被称为列昂惕夫矩阵，其经济含义是，矩阵中的纵列表明每种产品的投入与产出关系；每一列都说明某产业为生产一个单位产品所要投入各相应产业的产品数量；负号表示投入，正号表示产出，对角线上各元素则是各产业产品扣除自身消耗后的净产出。显然，上述投入产出的变换矩阵式（1-16），通过矩阵（I-A）把X与Y的关系揭示了出来，即揭示了总产品与最终产品之间的相互关系。
2．按列平衡关系式建立的投入产出模型
同理，将xij=aij代入按列建立的平衡关系式，可得如下投入产出模型
用矩阵可将该模型转换成：
。
其转换过程是：
将直接折旧系数公式得到的Di=aDjXj代入上述方程组，用和式符号表示：
，可得
将式（1-18）整理可得
将式（1-19）写成矩阵形式可得
其中，I为单位矩阵，X矩阵同前。
矩阵各元素描述了转移价值系数，即直接物质消耗系数加直接折旧系数；
矩阵中的各元素则揭示了总产值与国民收入之间的函数关系。