1.2 有限元法的基本思想

工程结构分析可以归结为求解弹性力学问题。弹性力学就是研究弹性体或结构由于外部载荷作用或者温度改变等因素所引起的形变、应力和位移。通过力学的平衡条件、变形几何协调性等方法，在外力与应力、形变、位移等各个物理量之间建立基本方程。假设对结构输入某种形式的已知量或者说某个量发生改变之后（通常是外力），再根据弹性力学的基本方程，寻求采用适当的方法求解这些基本方程，以便得到所需要的相关未知量。

弹性力学研究的外力、应力、应变、位移这四个基本量，通过三组基本方程，即应力与外力关系的平衡方程、应力与应变关系的物理方程、应变与位移的几何方程联系起来，它们之间的关系如图1.1所示。

应力、应变、位移属于弹性体内部的物理量，严格遵循弹性力学基本方程。一般弹性力学方法是根据弹性力学基本方程，对整个弹性体或结构来分析的。假设应力场能够确定，先根据物理方程求应变，再根据几何方程求位移，几何方程是偏微分方程组，由应变计算位移需要积分，求解起来非常困难，有时是不可能的。

如果弹性体内部的位移场能够确定，那么根据几何方程由位移求导计算应变；物理方程是代数方程，则容易由应变确定应力。但问题是计算的应力分量很难满足平衡方程，要得到正确解答同样也非常困难。

有限元法放弃了应力与外力之间的平衡方程。根据能量原理，直接在外力与位移场之间建立联系，也就是反映外力改变与弹性体内部位移场变化的关系，依次求解位移、应变、应力，其过程如图1.2所示。现在关键的问题就是对于复杂形体的弹性体或结构中的位移场该如何表达？

图1.1 弹性力学基本量关系示意图

图1.2 有限元法的基本思路示意图

有限元的基本思想是，在弹性体内选取足够多、有限数量的具有代表性的点，假定这些点的位移已知，再用这些假定的位移量描述其他位置点的位移，就得到了用特定点位移表示的弹性体的位移场，这些选定的有代表性的点称为节点。为了较准确反映原结构特征，通常，尖点、拐角、截面改变处、位移约束位置、集中载荷作用点等特殊、具有代表性的点都应选为节点。

所谓节点数量足够多，就是要保证所得到的数值结果满足精度要求；节点数量有限，就是将连续体中无穷多点的无限自由度转变为有限数量的自由度，以便能够用计算机进行数值计算和处理。在用节点位移分量描述其他点（非节点）的位移分量时，并非考虑所有节点位移的影响，而是先将弹性体按节点分割成很多简单形状的小区域或小块，仅由包含该点的小区域上节点来表示。有限元法是将复杂的连续体分割成有限多个简单形状的小区域或小块，这些小区域或小块称为单元。每个单元形状简单，以位移为基本变量，根据虚位移原理或最小势能原理，求解单元的能量，将每个单元的能量叠加后便得到结构的总能量。

有限元法先化整为零、再积零为整。也就是把一个连续体分割成有限数量个单元，首先对每个简单的单元进行分析，然后再将所有单元组合起来进行结构的整体分析。有限元法的实质是将连续体无限自由度问题转化为离散体有限自由度问题，将连续场函数的偏微分方程求解问题转化成有限个参数的代数方程组求解问题。从数学的角度来看，有限元法是将偏微分方程化成代数方程组，然后利用计算机进行求解的方法。