1.4 有限元法的主要步骤

有限元法是根据能量原理将偏微分方程组转化为有限个参数的代数方程组，有限元方程的形式为

式中，K为结构的总刚度矩阵，与结构有限元模型有关；F为外载荷矢量，由外载荷及计算工况确定；δ为节点位移矢量，是待确定的具有代表性节点的位移。方程的阶次与节点总数有关，若节点总数为n，那么二维问题方程阶次为2n，三维问题方程阶次为3n。

用有限元法分析弹性力学问题的主要步骤可分为：建立有限元模型，形成结构的总体刚度矩阵（简称总刚），施加不同工况的外载荷，求解有限元方程（线性代数方程组）得到节点位移，求单元应力分量等环节，有限元分析的主要流程如图1.3所示。具体步骤说明如下：

图1.3 有限元法分析弹性力学问题的主要步骤

1.建立有限元计算模型

结构有限元模型是有限元法分析的基础。建立有限元计算模型，首先要确定分析研究的对象，分析对象一般是结构总体，在结构的几何形状与作用载荷同时对称的情况下，也可选择结构的一部分作为研究区域；其次根据所研究的结构特征选择合理的单元类型，进行结构离散化。离散化就是将连续结构分割成一定数量的单元，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接，这些单元要模拟原结构的几何形体。单元的类型有多种，单元大小及结构离散化方式也可有所不同，这些因素都会影响有限元法的计算精度与计算效率，甚至会影响到数值解的收敛性和稳定性。合理离散化是保证用有限元法获得较高精度近似解的前提。

有限元的单元有很多类型，如表1.1列出部分典型单元，还有计算精度较高的二次及高次单元。选择的单元类型应能反映出结构的几何特征及受力状态，结构的几何特征可分为杆系结构、梁结构、平面问题、空间问题、板壳问题等。

2.单元位移模式

对于位移型有限元法，首先要确定的是位移场，欲在整个结构上建立位移的统一数学表达式是非常困难甚至是不可能的。而将结构实体划分网格离散成单元的集合体后，以一个单元作为分析对象来描述单元范围内的位移场则较为简单。遵循某些基本准则，将单元中任意一点的位移分量用单元的节点位移来表达，即表示成节点位移的函数，这种由节点位移描述单元上点的位移的函数称为单元位移模式或位移插值函数。位移模式实质上是单元内的近似位移场，是计算单元应变的依据。不同类型的单元应有相应不同的位移模式，位移模式直接决定了有限元分析的正确性和计算精度。

表1.1 典型单元

（续）

3.单元刚度矩阵

在建立了单元的位移模式后，确定单元内的位移场，根据几何方程确定单元上任意一点的应变，建立应变与节点位移之间的关系；再根据物理方程计算单元上一点的应力；利用虚位移原理或最小势能原理，建立单元的能量与节点位移之间的关系，实质上就是形成单元刚度矩阵。

4.等效节点荷载

结构离散化成单元的集合体，单元与单元、单元与边界之间通过节点连接。节点之间的相互作用力包括由结构离散引起的单元之间的相互作用和外力作用这两部分，前者属于结构内力自平衡，在分析时不予计算。外界对结构的各种作用均转化为节点载荷，这种转化作用效果是等价的，称为等效节点荷载。

5.整体分析

整体分析的目的是要确定系统的总能量。能量是标量，在确定了每个单元的能量之后，将所有单元的能量叠加得到离散系统的总能量。整体分析实质上就是将各个单元的单元刚度矩阵累加组成整体刚度矩阵，将各个单元的等效节点力叠加形成结构的整体荷载矢量。

6.有限元方程的求解

有限元方程Kδ=F是代数方程组，但由于系数矩阵K是奇异的，不能直接求解，必须根据结构位移约束状态，引入结构的边界条件之后，才能求解该线性方程组，解方程后得到所有节点的位移。

7.计算单元的应变与应力

每个单元由其节点唯一确定，提取单元的节点位移，根据单元上应变与单元节点的位移关系求出单元应变，再根据物理方程，即应力与应变的关系得到单元的应力分量。

在进行结构设计和分析决策时，要了解结构的整体应力分布，确定结构中最大位移和应力最大值及位置。后处理软件不仅能够输出所需要的各种应力和变形的数值结果，而且还可以用图形等多种方式显示应力分布状况，解释分析结果，直观形象。

有限元法概念浅显，过程统一，容易理解，但由于有限元模型是将连续体离散数字化，涉及的数据种类多、数据量大，简单且重复性的计算量大，使初学者感到茫然。只要按单元刚度矩阵和等效节点载荷两条主线梳理有限元分析步骤，提炼每个环节之间的内在关联，就容易学会有限元法。通过简单的案例进行有限元过程的演练，加深对有限元法思想和步骤的领悟，编写有限元计算程序也是一种有效训练途径。读者根据自己研究领域的专业特点，结合某个有限元分析软件，学习建立有限元模型和载荷工况处理方法，不断实践，逐步提高应用有限元法解决工程实际问题的能力。