1.2　变化的位置

我：“假设有一条直线，点在直线上移动。”

直线上的点

由梨：“又是点。”

我：“如果没有任何标示，我们不知道点所在的位置。在直线上画上数字刻度后，普通的直线就变成了数线。”

表示点位置的数线

由梨：“嗯，数线。”

我：“举例来说，假设以表示点的位置，

我们会用这个数学式表示点在位置1上。”

由梨：“若是呢？”

我：“表示点前进很多！”

由梨：“那若是呢？”

我：“表示突然移动到非常远的地方……以此类推。”

由梨：“一点都不难嘛。”

我：“非常好。不过，点在移动，比方说点从位置移动到位置。”

点从位置移动到

由梨：“嗯，点移动了。”

我：“此时，

位置变化

表示位置变化了多少。”

由梨：“好的。”

我：“虽然由可了解‘位置变化’（位置变化，也称位移），却不知道速度。”

由梨：“因为不知道点移动了1秒还是3万年。”

我：“没错。如果不知道移动花费的时间，也就没办法知道速度。所以，在求点的速度时，必须注意每个时刻的位置。举例来说

● 在时刻，点的位置为。

● 在时刻，点的位置为。

——像这样来讨论。”

由梨：“花费时间是吧。”

我：“没错。花费时间就是‘时间变化’，表示为

“时间变化”

做到这里就能计算速度

速度的公式会变成这样。”

由梨：“我了解了，但是好麻烦啊。”

我：“好麻烦？”

由梨：“位置、时间、速度都跑出来了，好麻烦呀——”

我：“位置是指‘在哪里’，时间是指‘什么时候’，速度是指‘往哪个方向跑多快’，一点都不麻烦哦。”

由梨：“时间、位置一起改变，所以看起来很复杂啊。”

我：“遇到许多变量同时变化，看起来很复杂时，可以画关系图辅助理解，抓住变化的规律。”

由梨：“原来如此。”

我：“想要知道随着时间改变，位置如何变化时，可以画出‘位置图’；想要知道随着时间改变，速度如何变化时，可以画出‘速度图’。那么，实际来画画看，我们先来画个‘位置图’吧。”

问题3（绘制“位置图”）

点以固定速度在直线上移动。

在时刻0，点的位置为

在时刻，点的位置为。

假设点一直以固定速度持续移动，试画表示时间与位置关系的“位置图”。

由梨：“点是以固定速度在移动，所以‘位置图’会不断向右上方延伸嘛。”

我：“咦？”

由梨：“啊，我漏掉了。一开始的位置是。”

我：“这样不对，由梨。就算再怎么嫌麻烦，也不能省略这么多东西。如果横轴和纵轴没有任何标示，这图形会没有任何意义。”

由梨：“对哦。我想想……横轴为时间、纵轴为位置嘛。”

我：“没错。由这个关系图可以知道，点在时刻0时位于位置。因为时。”

由梨：“嗯……为什么这个关系图有两个0呢？”

我：“啊，那是时间的0和位置的0。一般会一起写成原点，但这里把它们分开来写。”

由梨：“嗯——”

我：“接着讨论关系图上其他时间的位置吧，像是时的值为多少？”

由梨：“嗯……速度为、花费时间为1，只前进了，加上一开始的位置是，所以的值会是？”

我：“没错。时，试着把答案写进‘位置图’中吧。”

在时间时，位置

由梨：“哈哈，出现在的上方了。”

我：“因为是时的位置。同理，如果改变时间……

的时候

的时候

的时候

的时候

……

会像这样变化。比较新位置和一开始的位置，会发现时间，位置增加；时间，位置增加；时间，位置增加。换句话说，从起始位置开始的‘位置变化’跟时间成正比关系。”

由梨：“是啊。”

我：“经过一般化，时间与位置的关系会是

在关系图上，呈现斜率为的直线。”

由梨：“又是一般化。”

解答3（绘制“位置图”）

表示点的时间与位置关系的“位置图”如下。

点P的“位置图”

由梨：“呵呵，哥哥真的很喜欢列数学式耶。”

我：“喜欢啊。只要知道和，就能够用数学式，求出任何时间所对应的位置。这个‘任何时间所对应的’很吸引我啊。”

由梨：“哦——这就是对数学式的爱啊。”

我：“‘位置图’就像是这样，那‘速度图’会如何呢？”

由梨：“因为速度固定不变，所以呈现水平线？”

我：“是的。点的速度在任何时间皆为定值。若以小写字母表示在时间点的速度：

这个数学式在‘速度图’上呈现为一条水平线。横轴为时间，纵轴为速度。”

点的“速度图”

由梨：“速度一直没有改变啊。”

我：“没错。因为前提条件是点的速度固定不变，所以即便位置改变了，速度也不会出现变化。”

由梨：“呵呵……啊哈哈哈哈！”

我：“突然怎么了？”

由梨：“我突然想到以前哥哥举过在坚硬冰块上面滑动的例子。”

我：“啊啊，的确有这回事。点的移动跟不受外力在冰上滑动一样。”