2.3 边界条件和初始条件的提法

上面的公式为准晶弹性基本法则作了一个描述，也为理论研究和工程应用的实现提供了一个方法，这些公式对于材料内部是成立的，即（x,y,z）∈Ω，其中（x,y,z）表示内部任意一点的坐标，且Ω表示材料本身。这些公式能被归纳为一些偏微分方程。为了求解它们，必须要知道场变量在Ω的边界Γ上的情况，没有边界上的合适信息，所得的解没有任何物理意义。根据实际情况，边界Γ由两部分Γt和Γu组成，即Γ=Γt+Γu，在Γt上给出面力，在Γu上给出位移。

对于前种情形：

式中：nj表示Γ上任一点的外单位法向量；Ti和hi为面力和广义面力向量，它们为边界上的给定函数。式（2.3.1）称为应力边界条件。

对于后种情形：

式中：和为边界上的已知函数。

式（2.3.2）称为位移边界条件。

如果Γ=Γt（即Γu=0），在边界条件式（2.3.1）下求解式（2.1.9）、式（2.1.11）、式（2.1.13）和式（2.2.14）称为应力边值问题。而Γ=Γu（即Γt=0），在边界条件式（2.3.2）下求解式（2.1.9）、式（2.1.11）、式（2.1.13）和式（2.2.14），称为位移边值问题。

如果Γ=Γt+Γu，同时Γt≠0, Γu≠0，在边界条件式（2.3.1）和式（2.3.2）下求解式（2.1.9）、式（2.1.11）、式（2.1.13）和式（2.2.14）称为混合边值问题。对于声子晶体，不需要考虑相位子、声子—相位子耦合初始和边界条件。