2.2 准晶弹性广义胡克定律
准晶的自由能或应变能密度F（εij, wij）中相位子项的出现是准晶弹性能密度与经典弹性理论中弹性能密度区别的主要特征之一，它是反映准周期结构的重要参数。将其在εij=0和wij=0邻域作泰勒展开，相位子的应变和声子的应变互相结合的二次式构成准晶弹性自由能的低阶项，所以只保留到第二项，得到
式中：Fu、Fw和Fuw分别代表声子、相位子、声子——相位子耦合部分，且
是声子弹性常数张量，这里
Cijkl=Cklij=Cjikl=Cijlk（2.2.3）
这个张量能表示成一个对称矩阵[C]9×9。
在式（2.2.1）中，另一个张量为
其中：指标j、l属于空间
, i、k属于
，并有
K ij kl所有的分量也能表示成一个对称矩阵[K]9×9。
此外
为声子—相位子耦合弹性常数。
值得注意的是，指标i、j、l属于空间E3‖, k属于E3⊥，并有
但
它们所有的分量能表示成对称矩阵[R]9×9和[R＇]9×9，且有
其中，T表示转置算子。四个矩阵[C]、[K]、[R]和[R＇]构成了一个18×18阶的矩阵：
如果用18个元素的行向量表示应变张量，即
其转置表示一个列向量，那么自由能（应变能密度）可表示为
这和式（2.2.1）的表示是一致的。
为了应用准晶的弹性理论，必须确定其位移场和应力场，这就要求建立应变和应力之间的联系，这便是准晶材料的广义胡克定律。从自由能表达式（2.2.1）或式（2.2.13）出发，有
或者有其矩阵形式
其中
关于准晶的弹性常数，类似于经典晶体物理学中的处理方法[38]，群表示理论发展成为一种研究准晶对称性的极为重要的理论方法[39-49]，它以在一些对称操作之下某些物理量应该满足守恒条件为基本出发点，由此通过严格的论证方式从理论上对准晶中的一些独立弹性常数的个数给出一个精确的解答[41-49]。王仁卉等[42]用群表示理论详细地导出了一维准晶中的点群及空间群个数，给出了各种点群之间的本构关系及弹性常数的个数；杨文革、胡承正[43-48]讨论了二维及三维准晶中的相关情况。他们还将晶体的热力学稳定性推广到准晶中去，由于在实验上已经得到了许多完整的稳定的准晶相，表明以稳定态存在的准晶可以看成一个热力学稳定系统，并可建立一个与之相适应的平衡性能热力学。在这种考虑下，获得了具有电效应、电磁效应、热效应及磁热效应等耦合关系的独立的弹性常数的个数及弹性能密度表达式[49]。同时，他们也比较了五次对称准晶与十次对称准晶的不同[47]。另外，对于某些准晶中独立的弹性常数、光电常数以及压电常数的个数，蒋毅坚等[50][51]也给出了一些讨论。尽管在理论上，各种情况下的准晶弹性常数的个数已经导出，然而，这些弹性常数的测定却相当困难。准晶声子场的弹性常数的实验测定在文献[52-54]中有所介绍，然而相位子场的弹性常数的实验测定并非容易的事，因为相位子弛豫的时间很长[33]。Boissieu与Boundard等人[55][56]对二十面体准晶相Al-Pd-Mn用漫散射法测定了相位子场中的两个弹性常数之比，表明当对偶弹性常数等于零时，这两个相位子场中的两个弹性常数之比在200℃时约为-0.5，而在700℃时约为-0.4。最近，在二维十次对称准晶和三维二十面体准晶中也有很多弹性常数被测量或通过估算得到[57-66]。
准晶材料常数的测定是困难的，但是特别是近几年的实验技术进步改变了这些困难。由于准晶中二十面体和十次对称准晶占大多数，测定所得的数据主要集中于这两种固体相。
对于二十面体准晶，独立的非零声子弹性常数Cij分量仅有λ和μ，相位子弹性常数Kij仅有K 1和K 2，且声子——相位子耦合弹性常数Rij仅有R。对于最重要的二十面体Al-Pd-Mn准晶，测定的数据包括质量密度和相位子场耗散系数为[65-67]
ρ=5.1g/cm3, λ=74.9, μ=72.4（GP a）, K 1=72MPa, K 2=-37MPa，
R≈0.01μ，
Γw=4.8×10-19 m3 ·s/kg=4.8×10-10 cm3 ·μs/g
对于二维十次对称准晶，独立的非零声子弹性常数分量仅有C11, C33, C44, C12, C13，和C66=（C11-C12）/2，相位子弹性常数仅有K1、K2、K3，声子—相位子耦合弹性常数仅有R1, R2。对于十次对称Al-Ni-Co准晶，测得的数据为[65-67]
ρ=4.186g/cm3, C11=234.3, C33=232.22, C44=70.19，
C12=57.41, C13=66.63（GPa）
则
R1=-1.1, R2 ＜0.2（GPa）
对于K1、K2没有测得的数据（但是可以通过蒙特卡洛模拟获得这些数据），且Γw能够近似取二十面体准晶相应的值。此外，十次对称Al-Ni-Co准晶退火前拉伸力为σc=450MPa，退火后为σc=550MPa。十次对称Al-Ni-Co准晶的硬度为4.10GPa，其断裂韧性为（1.0～1.2）MPam[68][69]。有了这些基本数据，静态和动态的应力分析计算可以进行。