第2章 准晶与声子晶体弹性及其研究进展

2.1 准晶弹性理论来源

准晶属于凝聚态物理的范畴而不是传统的固态物理，虽然后者来源于前者。在凝聚态物理学发展中，相变和对称性破缺形成其核心理念和原则。准晶的弹性形变现象，在理论上和经典弹性理论有很大的不同，它必须借助Landau对称性破缺理论。Anderson曾经把Landau对称性破缺理论用于晶体，准晶发现后，研究者又把它推广到准晶。在这方面的首创工作当属Bak[24][25]、Levine与Lubensky等[26][27]。在Shechtman发现准晶之后，Bak[24]立即发表了其弹性理论，在其中他采用了物理和数学中三个重要的结果，核心就是朗道元激发理论和凝聚物质的对称性破缺。

根据物理学家的理解，准晶弹性的朗道密度波描述是一个自然的选择，Bak也指出，理想情况下，想要用第一原理计算来解释这个结构需要考虑构成原子的实际电子性质，这样的计算目前几乎不可能。因此他建议采用朗道的唯象理论[24][25]于结构转型，即对称性破缺序参量描述的凝聚相，能被转化为一个有充分平移和旋转对称性流体的对称群的不可约表示。

系统经历相变时一般伴随对称性的改变，Landau唯象理论第一步就是引入序参量来定量描述有序程度或者对称性。利用唯象的Landau理论，准晶的序参量是密度（波），将密度（波）在高维倒格矢空间进行展开。借助于高温无序的各向同性液晶相的研究方法，低温d-维准晶能表示为一个扩展的傅里叶级数（扩展存在因为晶格的周期性或高维空间的倒格子）：

式中：G为倒格矢；LR为倒格子；ρG为一个复数，即

其振幅为ρG，相角为ΦG，由于ρ（r）是实数，有ρG=ρ-G和ΦG=-Φ-G。

如果存在N个基矢{Gn}，所以对一个G∈LR人们能写出∑mnGn，其中mn为整数。此外N=kd，其中k为d-维准晶中互为无公度（两个基本长度的比为无理数）的矢量的个数，一般k=2。

理论物理学家和理论凝聚态物理学家通过论证，得到结果：

式中：为平行（物理）空间的倒格矢；在补空间（或垂直空间），是共轭矢量；u和w为两个位移场，即声子场和相位子场，虽然像晶体的讨论一样，对准晶引入声子场，还必须要引入另一个流体动力学量，称为上述的相位子场，它位于垂直空间或补空间，描述基于Penrose拼砌的晶胞中的局部重排。它们都仅是物理空间的位矢函数，其中为刚才所提到的物理空间的倒格矢，而是垂直空间的共轭矢量。人们会发现上面所提到的Bak的假设是Anderson理论的一个自然发展。几乎同时，Troian和Mermin[28]、Jaric[29]、Duneau和Katz [30]、Socolar等[31]、Gahler和Rhyner[32]也对准晶的弹性做了研究。尽管这些研究人员对准晶弹性从不同的描述出发做了相关研究，例如基于Penrose拼砌的晶胞描述，但是基于对称性破缺的朗道唯象理论的密度波描述扮演了主要角色且得到了广泛认可。这就意味着准晶中存在两个低能元激发，声子u和相位子w，其中矢量u处于平行空间中，矢量w处于垂直空间中。因此准晶的整个位移场为

其中，⊕代表直和。

根据Bak等人的观点，有

即u和w仅依靠平行空间中的经矢r‖。

即使像这样引进u和w，相位子的概念还是很难被读者接受。以下将根据投影的概念作一些补充解释。

原来说过，按照群论思想，准晶结构在高维空间（数学空间，如四维或五维或六维空间）是周期结构。而准晶相当于高维空间中的“周期晶体”向三维物理空间的投影，如一维准晶是四维“周期晶体”在三维空间中的投影、二维准晶是五维“周期晶体”向三维空间中的投影、三维准晶是六维“周期晶体”向三维空间中的投影。

以一维准晶为例，原子排列仅在一个方向为准周期的，假设为z轴方向，而在另外两个方向是周期的。原子排列的周期轴能被视为二维周期晶体的一个投影，其中点构成二维，即右侧的方形晶体，具有无理数斜率的线和准周期结构对应（相反地，如果斜率为有理数，那么和周期结构对应）。为此，可以使用所谓的斐波那契数列来描述，它由一个长段L和一个短段S构成：

和

斐波那契数列是有序的，但是为非周期的。斐波那契数列是描述一维准周期结构几何形状的有用工具，就像Penrose拼砌描述二维准晶和三维准晶的几何构型一样。对于一维准晶，斐波那契数列给出了一个清楚的描述，而对于二维准晶却不存在这样清楚的数列描述。因为准晶属于一种非对称晶体相，且在非对称晶体中存在相位子模，由w（r‖）表示，它理解为相应的新位移场，如果人们具备了非对称晶体方面的知识，那么他们很容易就能理解准晶中相位子模的来源，尽管传统非对称晶体和真实准晶不同。

出现在物理空间中的声子变量u（r‖）代表晶格点由于晶格振动偏离其平衡位置的位移。这种振动的传播就是固体中声波。尽管振动是一种能够量化的力学运动，这种运动的量化命名为声子。因此u场的物理术语称为声子场。u的梯度刻画了晶胞的体积和形状的改变——这和经典弹性是一致的。

像以前提到的一样，相位子变量实质上和合金的结构变换有关，可以从衍射图形的特点中观察到。Lubensky等[27][33][34]、Horn等[35]讨论了这种现象和相位子应变之间的联系。这些深刻的观察这里不作讨论，读者可以查看胡承正、王仁卉、丁棣华的文章[36]。这能够使我们相信相位子模确实存在。相位子变量的物理含义能被解释为描述一个晶胞中原子局部重排的一个量。我们知道晶体材料中的相变仅由原子局部重排产生。以上的准晶单胞描述预言了w描述了Penrose拼砌的局部重排。这些发现能帮助我们理解这些不寻常场变量的含义。之后的一些中子散射、穆斯堡尔光谱、核磁共振实验和比热测定，导致了热引起的相位子翻转被提出，这就是相位子扩散的本质。注意这里所谓的扩散和金属周期晶体的扩散完全不同（金属周期晶体的扩散由晶格空缺而来，而准晶结构中原子运动不一定有晶格空缺）。

必须指出的是矢量u和w在特定的对称操作中本质上是不同的。这可以由群论来解释。这些讨论在这里略去。

武汉大学王仁卉、丁棣华、杨文革小组在准晶的弹性研究中取得重大进展，获得了准晶的广义弹性理论。在物理空间，与经典弹性类似，引入相对位移的声子场变形（刚体移动和旋转不导致变形），并且建立直角坐标系（x1,x2,x3）或（x,y,z），那么声子场的位移可以用u=（u1,u2,u3）=（ux,uy,uz）来表示，有

其中，▽u表示矢量u的梯度，且

这意味着声子矢量u的梯度能被解耦为两部分εij和ωij，其中εij和变形能有关，ωij代表一种刚体旋转。仅仅考虑εij，它是声子变形张量，或应变张量，具有对称性：εij=εji。

类似地，对于相位子场，有相位子变形与相位子应变张量定义于

和

所有分量都对准晶变形有贡献，其中它为非对称的wij≠wji，相位子位移场w的梯度表示准晶中一个晶胞中的原子局部重排。当原子在晶胞中做局部重排时，要使原子突破阻碍，外部力是必要的。即对于准晶的变形，存在不同于传统体力密度f和面力密度T的另外一种体力密度和面力密度，命名于广义体力密度g和广义面力密度h。

对于静态变形情形，用σij表示与εij相应的声子应力张量，用Hij表示与wij相应的相位子应力张量，基于动量守恒定律有下面平衡方程：

对声子场应用角动量守恒定律：

与经典弹性类似，得到

这表明声子场应力张量是对称的。

因为在不同的点群表示下r‖和w（g,h）会改变，更准确地说，前者像矢量那样变化，但是后者却不，叉积表示：r‖×w,r‖×g和r‖×h无定义。这意味着对于相位子场不存在类似式（2.1.14）那样的方程，所以相位子场应力不是对称张量：

这个结论对除了三维立方准晶之外的所有准晶都成立。

对于动态变形情形，变形过程相当复杂；存在很多不同的观点。感兴趣的读者可以参考文献[37]。