1.2 准晶的结构分类与描述简介

如上述所说，准晶与周期晶体不同。根据其特有的对称性，它们属于一类非周期晶体。准晶这种独特特点起源于它们特殊的原子构造。这种结构的特点可以由衍射模式来解释。只不过准晶的这种衍射模式和晶体不同。与其他非周期晶体类似，准周期性产生新的自由度，可以有下面的解释。在固态物理和晶体学中，Miller指数（h, k, l）被用来描述晶体的结构。这些指数能解释所有晶体的衍射谱。晶体最大的特点是具有周期结构，组成晶体的粒子在空间规则排列。此重复的单元称为晶胞。两个晶胞对应点的物理性质完全相同，这种性质称为平移对称性，当围绕晶胞的任何一个点的一个轴旋转，转角为或这些角的整数倍时，总可以复原，这一性质称为晶体的取向对称性。注意在上述中n代表对称轴旋转次数，n=1,2,3,4,6，在晶体中未发现n=5和n＞6的情形，这是因为取向对称性受到平移对称性的制约，若n=5和n＞6，则破坏了平移对称性，因而不能构成晶体。

在晶体中，基矢量的数目N等于其维数d，即N=d。然而由于准晶的准周期性，Miller指数不能使用，相应地需要采用六个指数（n1, n2, n3, n4, n5, n6）。这样，就需要引入高维（包含四维、五维、六维）空间来刻划准晶的对称性。物理上三维空间中的准晶可以看作数学上的高维空间中的晶格的投影。四维、五维和六维空间中的周期晶格向物理空间的投影分别产生一维、二维和三维准晶。六维空间采用记号E6表示，它包含两个子空间：一个为物理空间，称为平行空间，记号为E3‖；另一个称为矢量空间，称为垂直空间，记号为E3⊥；因此，有

其中，⊕为数学上的直和。

对于一维、二维和三维准晶，物理空间上的维数为d=3，基矢量的数目N=4,5,6，因此N＞d，这和晶体是不一样的。

描述准晶的对称性最合适的方法为群论表示法[20]。

一维准晶有31个点群，包括6个晶系和10个Laue类，其中所有的点群为合晶点群，见表1.1。

二维准晶有57个点群，其中包括31个合晶点群，而其他26个为非合晶点群，见表1.2。

三维准晶有60个点群，包括：32个晶体学点群和28个非合晶点群，即二十面体点群（235，m）和26个具有5重、8重、10重和12重对称性（5,,52,, 5m和N, ,N/m, N 22, N mm, , N/mmm, N=8,10,12）的点群，这26个点群已经由表1.2列出。

准晶的特殊结构导致了它们具有一些新物理性质。准晶的力学性能，特别是其弹性性质，引起了各地学者的极大兴趣。其热力学性质也受到人们的广泛重视，其热传导性能比传统金属要差。在准晶的这些特殊性质中，首先是其弹性，第二是电性。其Hall效应也激起人们的研究兴趣。近年来，准晶——光子晶体的研究变成一个热点，有进一步深入研究的趋势。自从准晶被发现以来，其电学结构及其相关课题也是研究热点。由于不具有周期性，固体物理中的Bloch定理和Brillouin区概念就不能应用到准晶的研究中来。但是采用一些简单的模型和数值模拟，人们能获得准晶的电能谱。对于一些准晶材料，如Al-Cu-Li、Al-Fe等，当能量超出费米能时，会有赝隙出现。

按照在三维空间中原子排列的不同方式或者根据物理空间中材料呈现准周期性的维数，准晶可以分为一维准晶、二维准晶和三维准晶三大类。所谓一维准晶，指的是原子在二维上是周期分布的，在另外一维上才是准周期分布的。二维准晶是指在三维空间的一个方向原子排列是周期的，而在垂直这个方向的平面内是准周期排列的，发现的二维准晶有十次准晶、十二次准晶、八次准晶和五次准晶等四类。三维准晶是指在三维空间中的任何一个方向，原子排列都是准周期的。如二十面体准晶就是三维准晶，它又可分为简单二十面体准晶和面心二十面体准晶。在目前发现的准晶中，约有200多种，其中100余种为二十面体准晶，70余种为十次对称准晶。因此这两大类准晶在整个准晶系中占有重要地位。另外值得注意的是，二维准晶和平面准晶是两种不同的准晶。二维准晶就如前面所述，是一种具有二维准周期平面的三维结构，另一个方向是周期性的。而平面准晶是一种二维结构，平面内原子排列是准周期的，没有第三维方向。

为了更好地描述准晶的结构特征，目前已有很多种方法，如Penrose拼砌法、网格法、覆盖描述法、对偶网格法、自相似交换法和高维投影法等十多种方法构造准周期点阵，其中Penrose拼砌法和高维投影法被广泛应用。

20世纪70年代，英国数学物理学家Penrose尝试用非周期的方法来铺砌平面，他用两种菱形（内角分别为36°和144°、72°和108°）按一定的比例镶配在一起，在无穷的铺砌中，两种菱形数目之比等于黄金分割值。Penrose拼图具有一般晶体点阵的长程取向排列，但无周期平移序，而具有准周期平移序，出现晶体中禁止的五次对称轴。图1.3所示的平面拼砌就具有五重取向序。可以看出，拼砌具有局域同构性。接着Levine和Steinhardt提出了一种3维的Penrose结构，这种结构已证明与准晶体有密切的关系。随着具有8、10、12次对称轴的准晶物质的发现，人们开始设计出具有8、10、12次对称轴的Penrose拼图，并用这些拼图解释不同的准晶结构。下面选取几种不同对称性的准晶，介绍其对应的Penrose拼图。

（1）用八次对称性Penrose拼图有关的菱形（内角分别为45°和135°与正方形）拼出了具有2次和4次对称性的Penrose拼图。

（2）用十次对称性Penrose拼图有关的菱形（内角分别为36°和144°、72°和108°）拼出了具有2次和5次对称性的Penrose拼图。

（3）用十二次对称性Penrose拼图有关的菱形（内角分别为30°和150°、60°和120°以及正方形）拼出了具有2次、3次、4次、6次对称性的Penrose拼图。

（4）对于三维二十面体准晶，其结构模型和Penrose拼图与二维准晶结构模型和Penrose拼图明显不同。英国的A.L.Mackay将二维Penrose图形推广到三维空间，构造了具有二十面体对称的三维Penrose拼砌，两个基本拼砌单元的角度α分别为arctan2（=63.43°）、180°-arctan2（=116.57°）的扁的、厚的两种菱面体（通常为Ammann菱面体），这些菱面体的顶点构成了三维二十面体准点阵（图1.4）。