乘法式整理
截至目前为止，我们已经接触过各式各样整理东西的“分类”法，但数学教会我们的整理，绝对不是只有分类而已。除了把散乱的东西排列整齐的“整理”，数学也教会了我们许多别的东西。不过接下来的重点还是在于如何通过整理增加手边的信息，秘诀就藏在“和”与“积”的信息量差异中。
何谓“和与积的信息量差异”？
假设现在有A和B两个整数。我们来比较一下以下两个式子吧。
A+B=7……①
A×B=7……②
首先，从上面的式子中，我们可以观察出什么呢？式子①的A和B加起来是7，由此可知A和B的组合有无数组答案，可能是1和6、2和5、3和4 、10和-3……
相对地，式子②又如何呢？由于A和B相乘等于7，因此可能的组合只有4种，即：
1和7、-1和-7、7和1、-7和-1
和的组合明显多于积的组合，但我们能因此断定前者所提供的信息较多吗？答案是否定的。因为我所谓的“信息”，指的是那些得到以后对我们有用的信息，那种只会造成混淆的无用信息反而越少越好（先前的葡萄酒例子也是，对我们有用的信息指的是跟味道有关的信息）。由于此题的目的是求得A和B的值，因此答案的组合越少，对我们越有利。换言之，我们可以说积提供的信息量比和多。
因此，研究数学的人在看到数学式时，总是惯性地想先把和变成积。
其实各位在初、高中时期进行的“魔鬼式练习”因式分解，就是一种典型的和变积形式。
举例来说，当我们碰到“x2+5x+6=0”这个一元二次方程时，会把它因式分解成：
x2+5x+6=（x+2）（x+3）
没错吧？（这里的因式分解只会用到这个程度而已，所以即使不会上面的式子变换也没关系。）接下来：
x2+5x+6=0
⇔（x+2）（x+3）=0
当两数相乘等于零时，其中一数必定为零，所以：
（x+2）（x+3）=0
⇔x+2=0或x+3=0
⇔x=-2或x=-3
如此一来，答案就出来了！
学生时期的数学课会一而再、再而三地出现因式分解，目的并不是为了折磨各位，而是因为因式分解可以通过式子的变换提供更多有用的信息。
怎么样？经过以上的说明，你应该明白为什么乘法（积）所提供的信息量比加法（和）多了吧？
话说回来，当你看到4×3这个算式时，会联想到什么呢？
是不是有很多人会联想到这种排列成3行4列，相当方便计算的方格呢？或许也有很多人联想到的是本质上跟这个（从计算1cm2正方形数量的角度来看）大同小异，看起来类似下面这种长方形的面积吧？
无论如何，在进行乘法运算的时候，使用的数字似乎都具有不同的特性，例如行和列、纵和横，或是速度和时间等。这是我们在理解数学当中的“次方”或“次元”时应有的正确印象。一般而言，乘法运算就是一种使用不同性质的东西所进行的计算，计算的结果将会让我们得到全新性质的东西，有可能是面积，也有可能是移动的距离。与此同时，加法原则上就是相同性质的计算，例如个数与个数、长度与长度等，因此最后也只会得到相同性质的答案。我们通常不太可能从加法的结果看见另一个全新的世界。