§2.5　高阶导数

函数y=f（x）的导数y′=f′（x）显然仍是函数，因此还可以再考虑导函数y′=f′（x）的导数问题.例如，导数的物理意义是：如果某物体的运动规律是s=s（t），t>0，则物体在某时刻t的导数就是在该点的瞬时速度，即v（t）=s′（t）.它仍然是1时间t的函数，如果再要求考虑速度v（t）的变化快慢，即求某时刻t的加速度a（t），会有a（t）=v′（t）=[s′（t）]′.这就是导数的再求导问题.

定义　设导函数f′（x）在点x1处的某邻域内有定义，如果极限

存在，则称此极限值为函数f（x）在点x1处的二阶导数.记作

f″（x1）；y″（x1）； .

类似地，可以定义三阶导数，四阶导数，…，n阶导数，它们分别记为y‴，y（4），…，y（n）或分别记为；二阶及二阶以上导数统称为高阶导数.求高阶导数，只需对函数y=f（x）“逐阶求导”即可.

例1　设y=5x3-2x+1，求y‴，y（4）.

解　y′=15x2-2，y″=30x，y‴=30，y（4）=0.

发现：y=xn，y（n）=n！，y（n+1）=0.

例2　y=2x，求y（n）.

解　y′=2xln2，y″=2x（ln2）2，y‴=2x（ln2）3，…，y（n）=2x（ln2）n.

发现：（ax）（n）=ax（lna）n.特别地，（ex）（n）=ex.

例3　y=sinx，求y（n）.

发现： ，同理 .

例4　求y=lnx的n阶导数y（n）.

发现： .

例5　设y=arctanx，求y″（0），y‴（0）.

将x=0代入以上各式，得

y″（0）=0，y‴（0）=-2.

发现：有些函数的n阶导数可以从其前n-1阶导数中寻找到表达式的一般规律，进而推出n阶导数的通式.