习题二

一、填空题

1.若函数f（x）=lntanx，则=＿＿＿＿；若函数g（x）=cos2x，则g′（x）=＿＿＿＿.

2.若函数y=π2+arcsine3+x6，则y′|x=1=＿＿＿＿；dy|x=1=＿＿＿＿.

3.设f′（0）存在，且f（0）=0，则=＿＿＿＿；设f（3）′=2，则=＿＿＿＿.

4.曲线y=2x-xln4在点＿＿＿＿处的切线平行于x轴，在点（0，1）处的切线方程为＿＿＿＿.

5.设，则f（x）在x=0处的导数为＿＿＿＿.

6.设函数f（x）=xlnx，则f″（x）=＿＿＿＿.

7.=d＿＿＿＿；=＿＿＿＿.

8.设隐函数为sinx=ln（x+y），则y′|x=0=＿＿＿＿.

9.设f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+n）（n≥2），则f′（0）=＿＿＿＿.

10.函数y=|x|在定义域内的不可导点是＿＿＿＿.

二、选择题

1.设函数f（x）在x0及其附近可导，则在x0处的微分dy=（　）.

A.Δy；　　B.f（x0+Δx）-f（x0）；

C.f′（x0）Δx；　　D.f（x0）Δx.

2.设函数f（x）可导且下列极限均存在，则不成立的是（　）.

3.设f（x）=sin（2x），则f′（0）等于（　）.

A.-2；　B.-1；　C.0；　D.2.

4.若x，则f′（e）（　）.

A.0；　　B.2e；　　C.2eln2；　　D.2·2e·ln2.

5.设y=f（-x），则y′（　）.

A.f′（x）；　　B.-f′（x）；　　C.f′（-x）；　　D.-f′（-x）.

6.对于函数f（x）=|x-2|，下列结论正确的是（　）.

A.f（x）在x=2处连续，但不可导；　　B.f（x）在x=2处不连续，但可导；

C.f（x）在x=2处不连续，也不可导；　　D.f（x）在x=2处既连续，又可导.

7.设y=f（x）是可微函数，则df（cos2x）=（　）.

A.2f′（cos2x）dx；　　B.2f′（cos2x）sin2xdx；

C.f′（cos2x）sin2xdx；　　D.-f′（cos2x）sin2xd2x.

8.设，则f（x）在x=0处（　）.

A.间断；　　B.连续但不可导；

C.f′（0）=-1；　　D.f′（0）=1.

9.设函数y=f（x）可导，则=（　）.

A.0；　　B.2f（x）；　　C.2f（x）·f′（x）；　　D.2f′（x）.

10.若y=f（x）可微，当Δx→0时，在点x处的Δy-dy是关于Δx的（　）.

A.高阶无穷小；　　B.等价无穷小；　　C.同阶无穷小；　　D.低阶无穷小.

三、综合题

1.求下列函数的导数和微分.

（1）；　　（2）y=sin5x+etanx；

（5）；　　（6）y=x2cos（e2x）；

（7）y=arctan（3x-1）；　　（8）；

（9）y=sin（xlnx）；　　（10）；

（11；　　（12）y=sin2x·ln（1-x）；

（17）y=ln（secx+tanx）；　　（18）y=e2xarcsin3x；

（19）y=xcscx；　　（20）.

2.（1）讨论函数在点x0=0处的连续性与可导性；

（2）讨论函数在点x0=0处的连续性与可导性.

3.求由方程siny+e3y-xy=ex所确定的函数y=y（x）的导数y′x.

4.求由方程y=1+xsiny所确定的函数y=y（x）的导数y′x和y′x|y=1.

5.求y=（sinx）x的导数.

6.求的导数y′.

7.求曲线xt在点t=0处的切线方程和法线方程.

8.求y=ln（1+3x）的n阶导数y（n）.

9.利用微分求下列函数的近似值.

（1）sin31°；　　（2）ln1.01；

10.有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度定为0.01cm，估计一下每只球需用铜多少克？（铜的密度是8.9g/cm3）