40 刘徽（公元225—295年）
知道刘徽的人不多，但听说过《九章算术注》的人不少。
刘徽，山东邹平人，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，是中国数学史上最伟大的数学家之一。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是中国最宝贵的数学遗产。刘徽思维敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是中国最早主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是“算经十书”(1)中最重要的一本，成于公元一世纪左右。该书内容十分丰富，总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时，在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系。
《九章算术》的作者已不可考。一般认为它是经历代各家的增补修订而逐渐成为现今定本的，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补和整理，其时大体已成定本。最后成书最迟在东汉前期，现今流传的大多是在公元263年（魏景元四年），刘徽为《九章算术》所作的注本。
《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃，逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等均是其科学思想的真实体现。刘徽集各家优秀思想方法，并加以创新而用于数学研究，使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化，并上升到了一个新的阶段，他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表，也堪称世界数学泰斗。
在《九章算术注》中，提出用割圆术计算圆周率的方法，计算出正192边形的面积，得到圆周率的近似值为157/50（即3.14）。在中国，提到圆周率，首先闯入人们脑海的名字无疑是祖冲之，他已经被默认为是中国的“圆周率鼻祖”。但我国古代精确计算圆周率的数学家，应当首推魏晋时期的刘徽，他比祖冲之早入手这个问题两百多年。
刘徽注《九章算术》
在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积。这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密。他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的。因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入数学证明。他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积。刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的“幂”，同时提出了“差幂”的概念。“差幂”是后一次与前一次割圆的差值，可以用图中阴影部分三角形的面积来表示。刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径。以余径乘正多边形的边长，即2倍的“差幂”，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积。这是圆面积的一个上界序列。刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，“则表无余径。表无余径，则幂不外出矣”。就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了。因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积。于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即圆面积。
通过这种方法，刘徽证明了：
这一计算结果的精度，已高于阿基米德的估算：
但刘徽并没有止步，在此基础上他又计算出正3072边形的面积，得到近似值为3927/1250（即3.1416）。
刘徽高明的逼近法
对圆周率的探索一直未停止，后来祖冲之计算出
3.1415926（朒数）<π<3.1415927（盈数）
约1500年，印度数学家发现了如下优美公式：
现在，它以欧洲最早的发现者命名，称为格里高利-莱布尼茨公式。1734年，欧拉证明了另一个关于圆周率的优美公式：
约1706年威廉姆·琼斯（William Jones，公元1675—1749年）首用希腊字母π表示圆周率，1737年欧拉也用π表示圆周率后，就一直固定下来。
(1)指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书。十部书的名称是：《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《张丘建算经》《夏侯阳算经》《五经算术》《缉古算经》《缀术》《五曹算经》《孙子算经》。