二 模型建立

简要介绍经典的霍特林线形城市模型及其均衡结果，是本文模型的出发点，或者说是基准模型。在这一基础上，我们首先用历史观察法建立一个多期模型，以讨论双边市场下间接网络效应的交叉增强效果及其对市场结构的影响，这里存在价格策略的竞争，当然，霍特林模型的特点保证了我们可以考察产品差异化带来的市场影响；然后，我们建立一个类似的多期模型讨论直接网络效应的累积效果，并观察其对市场结构的影响。在这一部分，我们省略价格策略，换句话说，我们考虑现实中经常出现消费者“免费”下载App或者说免费使用互联网平台，而平台依赖另外一边市场收入（这里设定为广告）补贴的情形，这在中国市场常常被称为“羊毛出在猪身上”，并且在这里考察平台（内容等增加吸引力的）固定成本投入带来的影响，我们采用消费者预测方法，观察模型会得到什么与历史观察法不一样的结果。

（一）出发点：霍特林线形城市模型

我们模型的出发点，与Griva和Vettas（2011）基本一致，也是霍特林线形城市模型，只是初始参数设置有所不同。考虑两家竞争性企业i=1，2（可以是传统媒体，比如报纸，也可以是互联网企业或App等），企业供应各自产品或服务的固定成本为F＞0，单位成本分别为c₁，c₂，设定c₁＞c₂＞0，产品或服务带给消费者的基本效用为U₁＞0，U₂＞0；消费者对两家企业的产品或服务的偏好均匀分布在区间[0，1]，当消费者选择的产品或服务与自己的偏好不一致时，存在心理“落差”成本，这在霍特林线形城市模型中被称为“交通成本”，这一成本大小和“距离”成正比，比例系数为t＞0，消费者总人数为N＞0；进一步，与Griva和Vettas（2011）做法一样，假定企业1坐落在区间[0，1]的最左端，即0点，而企业2坐落在最右端，即1点，这一假定意味着我们双方提供的产品或服务具有最大的横向差异化程度。

在霍特林经典模型中，企业双方将就价格策略博弈，争夺消费者，谋求利润最大化。这一模型的均衡结果将因为初始参数的设定可能出现“边角点解”（Corner Solutions）现象，这时候，有部分消费者退出市场（放弃消费任意一家企业的产品或服务），Griva和Vettas（2011）的模型就出现了这种情况，为避免这种情况发生，一种简洁而常用的做法是，假定两家企业的产品或服务提供给消费者的基本效用足够大，从而引起消费者的兴趣，消费者不会退出市场（Cabral，2000）。^[23]本文将采取这种常用的做法，假定所有消费者都进入市场，从两家企业提供的产品或服务中至少选择一种并且只选择一种消费，以专门考察企业竞争的结果。在这样一种简化条件下，经典霍特林模型的博弈过程如下。

首先，双方企业分别设定自己价格为p₁，p₂；

其次，位于x处的边际读者在消费两种产品或服务之间没有差别。

U₁-tx-p₁=U₂-t（1-x）-p₂，由此得到：

第一家企业市场需求，

这样，第一家企业的利润函数为：

给定对手价格p₂，求取关于p₁的一阶导数，并令其等于零，得到：

整理得到；

类似地，第二家企业的利润函数为：

给定对手价格p₁，求取关于p₂的一阶导数，并令其等于零，得到：

整理得到；

联立，两个式子，

其中ΔU=U₁-U₂，这样，得到双方均衡价格、均衡市场规模：

显然，Δc=c₁-c₂＞0，并且，成本差距越大，双方市场份额差距越大；ΔU=U₁-U₂差距越大，双方占有市场份额也越大，这些都与直觉吻合。

（二）模型扩展Ⅰ：双边平台市场的间接网络效应

下面考察霍特林模型的多期网络效应。在这里，竞争企业或平台除了以一定的价格提供产品或服务（比如报纸的发行价格或付费App的使用费率）之外，还依据消费者规模（比如报纸发行量或平台的流量等）收取广告费（或收费项目），企业将这些广告费用以提升下一期自身提供的产品或服务的质量，增加对消费者的吸引力，因此，消费者在多阶段的消费决策中，每一期面对不一样的平台质量，从而调整自己的消费选择，以前阶段没有消费的产品或服务，可能这次就因为其吸引力的提升而购买了，因此，每一阶段，相对于企业质量的对比变化，市场规模也会出现相应调整，使得双方市场占有率变动；这将使下一个阶段企业承揽的广告额发生调整，而这又将影响到企业用以改进自身产品或服务竞争力的资金规模，如此往复，这种情况在报业中被称为发行量与广告相互加强的“螺旋效应”。

考虑时间因素之后，为清晰地区分不同时期（阶段）的发行量，根据基准模型，没有广告投放的初始阶段（时期k=0）不是一般性，设定双方企业的产品或服务提供给消费者的基本效用相等，即ΔU=U₁-U₂=0，那么，初始阶段的博弈结果就是前面得到的均衡，此时双方占有的市场份额分别是：

其中Δc=c₁-c₂＞0。

这一阶段得到的市场份额（比如，报纸发行量或App流量）将是企业获得广告费的基础，企业得到广告费之后将其用于自身质量改进，以提升对消费者的吸引力，并且，我们假设质量提升效果是广告收入的递增函数，特别地，为简便起见，我们将其设定为线性关系，即：

V_k（A_i，k）=vA_i，k，其中i=1，2分别代表两家企业，k=1，2，……，n代表第k期（或阶段），而V_k（A_i，k）是指由k期广告收入决定的质量水平，A_i，k=ad^*_i，k-1则代表企业k期广告收入与自己的上一期，即（k-1）期的市场规模（发行量或流量）是成正比的，其中a＞0是广告费率，v＞0是广告被投入用以提升产品或服务品质的效率，即质量提升系数，这样，在第k期，平台质量水平V_k（A_i，k）=vA_i，k=vad^*_i，k-1，其中v，a，d^*_i，k-1分别是质量提升系数、基于市场规模（发行量或流量）的广告费率，以及上一期，即（k-1）期的市场规模。

如果将前面的基准模型的博弈看作第一期博弈，根据博弈之后双方的均衡结果d^*_1，0、d^*_2，0，就得到相应的结果：

则有；

根据这一结果，在第二期（k=1），双方重新展开博弈，博弈的过程如前面的基准模型过程一样，这里双方因为第一期，即初始阶段的市场规模差距，出现了质量差距，或者说，对消费者吸引力产生了相对变化，重复基准模型的过程，得到如下新的博弈结果：

如此反复，更一般性地，可以将ΔV_n=V_2，n（A_2，n）-V_1，n（A_1，n）=va（d^*_2，n-1-d^*_1，n-1）代入基准模型的博弈中，得到关于d^*_2，n与d^*_1，n的表达式：

进一步，对上面两个式子，左右两边分别相减，得到：

对于上面这个数列，根据第一阶段结果，其初始条件为。

为了得到该数列的解析式，首先求出；

进一步，令；

然后，由数列表达式得到：

，

联立这两个表达式，两边分别相减：

注意，这是一个等比数列，容易得到b_n的解析表达式：

代入原来的数列：，由此得到：

将上面这n个式子的两边分别相加，得到：

如果，则得到：；

如果，由于，所以有：

将该式两边同乘以，得到：

用前面的等式对这一等式，两边同时相减得到：

整理得到：；

显然，如果，若n→∞时，则有：

如果，若n→∞时，则有：

这样，综合前面过程，得到论断一（Proposition I）：

在基于霍特林线形城市模型的n轮双边平台竞争中，企业双方在每一期就价格展开竞争，并通过基于消费者规模获得的广告收入来改进自身产品或服务质量，以增加对消费者的吸引力，扩大消费者规模；这种相互加强的间接网络效应，多期累积的均衡结果是：如果，则初始处于劣势的企业最终被淘汰出局，而初始占有优势的企业赢得整个市场；如果，初始占有优势的企业并不能依赖网络效应将对手淘汰，双方市场规模的差距将收敛于，其中，Δc=c₁-c₂＞0，t，N，a，v分别为距离成本系数（或横向差异化程度系数）、市场总体规模、广告费率、质量提升系数。

（三）模型扩展Ⅱ：双边平台市场的直接网络效应

下面，在前面基准模型的环境中，我们假设在双边平台市场中，存在一边对消费者免费的情形，此时两家企业都对消费者下载App或使用平台免费，企业通过收取广告费（或其他收费项目）获得收入，广告费依据平台另一边获得的消费者数目（或流量）决定，企业之间就平台产品或服务的质量展开竞争，即App或平台“吸引力”的U，但是U的提升是需要付出代价的，并且成本递增更快（凸函数），假设每一期企业为平台服务质量付出的成本为f（U）=kU²，其中k＞0为成本增长系数。注意，不是f（U）=D_ikU²；i=1，2，这表明，内容成本并不是可变成本，不管用户规模多大，这一成本是确定的，而企业为获得消费者付出的单位成本c₁＞c₂＞0则是一种可变成本。因此，这一设定表明，内容或平台吸引力的“生产”具有规模经济性，用户数量越大，内容成本的分摊就更为有利，这是媒体产业一个非常重要的经济特征。

这里，直接网络效应表现在，上一期App的用户规模越大，消费者下载使用该App或加入该平台，得到的效用就越高，而消费者是通过观察上一期的企业用户规模来考虑当期企业平台内容本身的质量的，在衡量其用户规模之后，消费者衡量选择综合效用最大的平台。

第一阶段，此时没有可见的“历史”使用量，没有由此产生的网络效应，消费者根据两家平台的产品或服务的“吸引力”（质量），以及个人偏好（即“交通成本”）进行决策，除了免费之外，这一过程和基准模型基本一致。

首先，位于x处的消费者的抉择是：

如使用企业1的产品或服务，得到效用U₁（x）=U_1，0-tx；若使用企业2的产品或服务，则得到效用U₂（x）=U_2，0-t（1-x），当消费者认为两家App无差异时，有U₂（x）=U₁（x），即：

U_2，0-t（1-x）=U_1，0-tx，

，

其中ΔU₀=U_1，0-U_2，0，

企业1的决策是利润的最大化，其中决策变量是内容质量水平U_1，0；

令，得到：，

同理得到，在c₁＞c₂＞0条件下，

为方便，记“基准质量或价值差”，那么有：

两家企业市场规模差距。

在第二阶段，消费者观察到企业上一期的“历史”成就，由此形成直接网络效应，成为当期消费者做决策的重要影响因素，设ρ＞0是直接网络效应系数，用以衡量一款特定App或一个平台给其下载使用者带来的需求效应或社交性程度。

此时，位于x处的消费者的抉择是：

U₁（x）=U_1，1+ρD_1，0-tx；U₂（x）=U_2，0+ρD_2，0-t（1-x），这里，上一期App或平台的使用者规模开始影响这一期消费者的使用体验，既有用户越多，当下使用该款App或平台的效用就越大。

当消费者认为两家App无差异时，有U_1，1+ρD_1，0-tx=U_2，0+ρD_2，0-t（1-x），

上式整理之后得到：；

代入，

；这样，得到，

进一步，，

接下来看App或平台的决策：

由，

令，得到，同理得到，

则；

这样，，

同理得到；

，其中；

以上是第二阶段均衡结果。

……

如此反复，利用前面论断1类似的推理过程，对n阶段的受众、媒体决策进行观察，可以得到如下结论：

，其中n=1，2，3，……

利用前面论断1类似求解方法，可以得到：

，这个等式两边同时减去上面两个等式；

令α_n=ΔD_n+1-ΔD_n，上式可以写成，因此有：

，其中α₀=ΔD₁-ΔD₀；

由于，，因此，

，

进一步，根据α_n=ΔD_n+1-ΔD_n得到：

，这样得到，

若，将上面n等式相加，得到：

ΔD_n+1-ΔD₀=（n+1）α₀，即ΔD_n+1=ΔD₀+（n+1）α₀；

若，将上面n等式相加，得到：

，即；

显然，如果，则当n→∞时，lim（ΔD_n+1）→∞，此时级数ΔD_n是发散的；如果，则当n→∞时，；

记，

代入，，得到，

又因为，代入得到。

综合前面过程，得到论断二（Proposition Ⅱ）：

在基于霍特林线形城市模型的双边平台竞争中，如果企业平台通过收取广告费（或其他项目费用）获得收入，对一边消费者完全免费，并通过质量决策获得消费者，多期动态竞争的均衡结果是：如果，初始处于劣势的企业被淘汰出局，初始占有优势的企业依赖直接网络效应的优势累积，最终垄断市场；如果，直接效应的优势累积并不能将初始处于劣势的企业淘汰出局，双方市场规模的差距最终收敛于，又因为，也可以记为，其中，Δc=c₁-c₂＞0，t，N，a，k，ρ分别为距离成本系数（或横向差异化程度系数）、市场总体规模、广告费率、质量提升难度系数（内容成本系数）、直接网络效应系数。

下面将专门讨论模型结论及其含义，首先讨论网络效应及其加强因素对互联网市场竞争的影响，然后结合模型结论讨论网络效应的主要对冲因素及其对市场结构的影响。