第三节 力矩与力偶
一、力矩
1.力对点之矩
前面讲过，力不仅可以改变物体的移动状态，而且还能改变物体的转动状态。力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。以扳手旋转螺母为例（图18），设螺母能绕点O转动，由经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力F的大小，
而且还与点O到F的作用线的垂直距离h有关。因此，可以用F与h的乘积作为力F使螺母绕点O转动效应的量度。其中距离h称为F对O点的力臂，点O称为矩心。由于转动有逆时针和顺时针两个转向，则力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号MO（F）表示，记为
MO（F）=±Fh
（1 1）
通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。
在国际单位制中，力矩的单位是牛[顿]·米（N·m）或千牛[顿]·米（kN·m）。
图1 8
力矩的基本性质有以下几点。
性质1：力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随矩心的位置变化而变化。
性质2：力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。性质3：力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。
性质4：互相平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。2.合力矩定理
合力矩定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于所有各分力对同一点之矩的代数和，即
MO（FR）=∑MO（F）
（1 2）
合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关系。这个定理也适用于有合力的其他力系。
【例11】试计算图19中力F对A点之矩。已知F，a、b、α。
解：（1）由定义求MA（F）先确定力臂h，而找力臂h较为麻烦。
（2）由汇交力系合力矩定理求MA（F）。现将力F分解为互相垂直的两个分力Fx和Fy，利用平面汇交力系合力矩定理计算力F对A点之矩，即
MA（F）=MA（Fx）+MA（Fy）=-Fxb+Fya
=-Fbcosα+Fasinα=Fasinα-Fbcosα
【例12】每米长的挡土墙受土压力的合力为R=150kN，求土压力R使墙倾覆的力
矩。图1 10中h=4.5m，b=1.5m。
解：（1）把R正交分解为两个分力F1、F2，有
F1=Rcos30° F2=Rsin30°
（2）对A点取矩，则有
图1 9
图1 10
MA（R）=MA（F1）+MA（F2）=F1 h3-F2b=82.4（kN·m）（逆时针）
二、力偶
1.力偶的概念
作用在同一刚体上的一对等值、反向、不共线的平行力称为力偶，记为M（F，F′）。如图1 11（a）中的力F和F′就组成了力偶，两力作用线之间的距离h称为力偶臂，力偶所在的平面称为力偶作用面。例如，汽车司机用双手转动转向盘时加在转向盘上的两个力[图1 11（b）]，就是力偶作用的一个实际例子。
图1 11
如前所述，力使刚体绕某点转动的效应可用力矩来度量。因此力偶对刚体的转动效应就可用组成力偶的两力对某点的矩的代数和来度量。如图1 11（c）所示，在刚体上作用一力偶M（F，F′），在力偶作用平面内任取一点O为矩心，则力偶对O点的矩为
MO（F，F′）=MO（F）+MO（F′）=F（h+x）+（-F′x）=Fh
同法可以证明，矩心O取在其他任何位置，其结果保持不变。由此说明力偶中两力对力偶作用平面内任一点的矩的代数和是一个恒定的代数量，这个与矩心位置无关的恒定的代数量称为力偶矩，用M表示，其大小等于力偶中一力的大小与力偶臂的乘积，其正、负号规定与力矩的规定相同，即力偶使刚体逆时针转动时取正，反之取负。因此力偶矩的一般表达式为
M=MO（F，F′）=MO（F）+MO（F′）=±Fh
（1 3）
力偶矩是代数量，力偶矩的单位与力矩的单位相同，常用牛[顿]·米（N·m）。通过大量实践证明，度量力偶对物体转动效应的三要素是：力偶矩的大小、力偶的转
向、力偶的作用面。不同的力偶只要它们的三要素相同，对物体的转动效应相同。
2.力偶的性质
性质1：力偶没有合力，所以力偶不能用一个力来代替，也不能用一个力来平衡。性质2：力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶矩，且与矩心位置无关。
性质3：在同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶等效，称为力偶的等效条件。
从以上性质可以得到两个推论。
推论1：力偶可在其作用面内任意转移，而不改变它对物体的转动效应，即力偶对物体的转动效应与它在作用面内的位置无关。
推论2：在力偶矩大小不变的条件下，可以改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对物体的转动效应。
图1 12
从上面两个推论可知，在研究与力偶有关的问题时，不必考虑力偶在平面内的作用位置，也不必考虑力偶中力的大小和力偶臂的长短，只需考虑力偶的大小和转向。所以常用带箭头的弧线表示力偶，箭头方向表示力偶的转向，弧线旁的字母m或者数值表示力偶矩的大小，如图112所示。