2.1.2 几个基本概念

1.外力

作用于物体的外力可以分为体力、面力、集中力等三种类型。

（1）体力 体力也称体积力，就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，例如物体的重力、惯性力、电磁力等。一般情况下，物体内各点的体力是不同的。为了表明物体任意一点P所受体力的大小和方向，在P点区域取一微小体积元ΔV，如图2.1所示，设ΔV的体力合力为ΔQ，则ΔV的体力平均集度为ΔQ/ΔV，当ΔV趋近于0时，即为

这个极限F是矢量，就是物体在P点所受体力的集度。因为ΔV是标量，F的方向就是ΔQ的极限方向，矢量F在坐标轴x、y、z上的投影分别是X、Y、Z，称为体力分量，有序排列，表示为矢量的形式：

体力分量的符号规定，方向与坐标轴正向一致为正；与坐标轴负向一致为负。体力是指单位体积的力，体力的因次是［力］［长度］-3，量纲为L-2MT-2。

图2.1 体力示意图

（2）面力 面力也称表面力，是分布在物体表面上的力，例如风力、静水压力、物体之间的接触力等。物体在其表面各点所受到的力，一般也是不同的。在物体表面上取包含P点的微元，如图2.2所示，假设作用在物体表面ΔS上面力为ΔT，则面力的平均集度为ΔT/ΔS，当ΔS趋近于0时，即为

该极限F_s为物体表面上P点所受面力的集度，也是矢量。F_s在坐标轴x、y、z上的分量分别是X_N、Y_N、Z_N，称为面力分量，表示为矢量的形式：

面力与体力符号规定相同，即与坐标轴正向一致为正，与坐标轴负向一致为负。面力的因次是［力］［长度］-2，量纲为L-1MT-2。

图2.2 面力示意图

（3）集中力 集中力就是作用于物体某一点上的力。不论P点是在物体内部还是在表面上，只在P点附近很小区域存在作用力，其他区域数值为0，在有限元分析中集中力是常见形式，譬如悬挂重物的作用点，车轮对桥面作用等都可认为是作用于P点的集中力。集中力分量的矢量形式为

集中力分量的符号规定，沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。集中力的因次是［力］，量纲为LMT-2。

2.一点的应力状态

在材料力学中已经了解了应力的概念及斜截面上的应力，斜截面上的应力可分解成一个正应力分量和一个切应力分量。根据复杂物体任意截面上应力的定义，假设用过物体内P点的任意截面m—n把物体分为这两部分，这两部分的作用互为作用与反作用，大小相等、方向相反。在截面上P点的某个小邻域取出一包括P点在内的微小面积元ΔA，截面m—n的外法线为N，在ΔA部分对其作用力为ΔT，则

该极限矢量s_N就是物体在截面m—n上P点的应力。应力的因次是［力］［长度］-2，量纲为L-1MT-2。

应力矢量s_N的下标表示了其所在微面的法线方向，应力矢量s_N与微面法线通常有一定夹角。描述应力矢量s_N时通常采用沿微分面的法线方向及切线方向进行分解，而不采用沿坐标轴x、y、z方向分解。沿法线方向的应力用σ_N表示，称为m—n截面的正应力；沿切线方向的应力用τ_N表示，称为m—n截面上的切应力或剪应力，如图2.3所示。截面m—n的法线方向是唯一的，但切线方向在截面内却不是唯一的，这样剪应力τ_N的方向实质上并未确定。为了解决该问题，将τ_N沿两个互相垂直的方向分解，得到相应的两个剪应力分量，所以复杂物体任意截面上的应力可以用一个法向的正应力和两个平面内的剪应力来表示。

应力矢量的大小及方向不仅与“分析点”在弹性体内的位置有关，还与考察面的方位即微分面法线与坐标轴的夹角有关。换言之，通过P点截面m—n，当其法线方向改变时，应力矢量随之变化，因此必须明确应力矢量的位置以及经过该点的哪一个微分面。由于通过物体内一点的微分面有无数个，这就使一点的应力分量描述多样化，但作用效果是不变的。为了便于统一分析和计算，用一个平行六面体来描述P点，平行六面体的棱边分别与x、y、z轴平行，边长分别为dx、dy、dz，当边长趋于0时，平行六面体即为一个点。平行六面体的表面按其法线与坐标轴平行，分别称为x面、y面、z面，外法线与坐标轴正向一致的为正面，外法线与坐标轴负向一致的为负面。

在平行六面体表面上定义应力，每个表面上的应力都可以用一个法向的正应力和两个与坐标轴平行的剪应力表示。因为物体处于平衡状态，正面与反面上的应力大小相等、方向相反（未考虑增量），为简明起见，只画出正面上的应力分量，如图2.4所示。

应力分量的表示方法：

正应力分量：每个面上有一个量，只要用一个下标，既可表示作用面，又能区分作用方向，用σ_x、σ_y、σ_z分别表示x面、y面、z面上的正应力分量；

图2.3 斜截面上应力分量示意图

图2.4 一点的应力状态

剪应力分量：每个面上有两个量，共有6个量，要区分作用面及其作用方向，必须用两个下标表示。规定第1个下标表示作用面，第2个下标表示作用方向，如τ_xy表示x面上与y轴平行的剪应力分量。所有剪应力分量为τ_xy、τ_xz，τ_yx、τ_yz，τ_zx、τ_zy。

外力的符号是由外力的方向与坐标轴方向的关系来确定的，与坐标轴正向一致的始终为正。应力属于内力，根据变形趋势来确定其符号。正应力以受拉为正，受压为负；剪应力以夹角变小为正，夹角变大为负。为便于记忆，类似于有理数运算法则，同号相乘为正、异号相乘为负的原则，六面体应力符号规定表述为：

面上应力方向与坐标轴向一致的为 ； 面上应力方向与坐标轴向一致的为 。

图2.4所示的所有应力分量均为正。正应力符号与材料力学的规定相同，但剪应力与材料力学的规定并不完全相同。

六个剪应力分量之间存在一些互等关系，称为剪应力互等定理：

τ_xy=τ_yx，τ_xz=τ_zx，τ_yz=τ_zy

说明作用在两个互相垂直面上并且垂直于两面交线的剪应力是互等的，二者大小相等，正负号相同，剪应力的实际方向同时指向或背离两面交线。因此，剪应力符号中的两个下标可以对调，不必再区分哪个下标表示作用面或是作用方向。

实际上，物体内任意一点的应力有三个正应力分量σ_x、σ_y、σ_z与三个剪应力分量τ_xy、τ_yz、τ_zx，用这六个量可求得经过该点任意截面上的正应力和剪应力，即可以完全确定该点的应力状态。换言之，若某点的应力状态已确定，则该点的六个应力分量全部已知。通常应力分量写为矢量形式

σ=｛σ｝=｛σ_x　σ_y　σ_z　τ_xy　τ_yz　τ_zx｝T

3.形变（应变）

所谓形变就是形状的改变，是描述物体受力后发生变形的相对力学量。物体的形变程度一般用六面单元体的三条互相垂直的棱边的伸缩程度以及棱边之间夹角的改变量来描述。棱边的相对伸长或缩短量称为正应变，有时也称线应变，用ε_x、ε_y、ε_z表示，其意义为沿3个坐标轴方向的相对伸长量，正应变以伸长为正、缩短为负；棱边之间所夹直角的改变量称为剪应变，记为γ_xy、γ_yz、γ_zx，如γxy的意义为x与y轴夹角的改变量，以弧度表示，剪应变以直角变小为正、增大为负。

描述空间一点的形变需要六个应变分量，与应力分量对应，应变分量记为

ε=｛ε｝=｛ε_x　ε_y　ε_z　γ_xy　γ_yz　γ_zx｝T

4.位移

位移就是位置的移动量。由于外载荷作用或者温度变化等外界因素影响物体产生变形，物体内各点在空间的位置将发生变化，描绘物体位置变化的量称为位移。位移包括刚体位移和变形位移两部分：刚体位移是由于物体整体在空间做刚体运动而引起的位置改变，物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变；变形是物体整体位置不变，但物体在外力作用下发生形状的变化，而改变了物体内部各个点的相对位置。后者与弹性体应力有着直接的关系，是弹性力学研究的重点，通常叫位移。位移是矢量，既有大小也有方向，沿x、y、z坐标轴方向的投影u、v、w称为位移分量。位移分量与坐标轴方向一致为正，反之为负。位移分量的因次是［长度］，量纲为L。位移分量记为

f=｛f｝=｛uvw｝T