2.2.5 边界条件

边界条件表示在边界上位移与约束或应力与面力之间的关系。按照边界条件的不同，分为位移边界条件、应力边界条件、混合边界条件。

1.位移边界条件

弹性体在所有边界上的位移分量均为已知，在边界上存在

其中，u_s、v_s、ws表示边界上的位移分量，而则表示在边界上是坐标的已知函数，例如对于完全固定的边界，，这就是位移边界条件。

2.应力边界条件

弹性体在全部边界上所受的面力都是已知的。面力已知的条件可以变换成应力方面的条件，表示为

式中，l=cos（N，x），m=cos（N，y），n=cos（N，z）表示边界外法线N的方向余弦。

式（2.6）同样是一个函数方程，表示边界上每一点应力与面力之间的关系，即应力分量的边界值就等于对应的面力分量。但应注意，应力分量与面力分别作用于不同面上，且各有不同的正负号规定。当边界的外法线N沿坐标轴正向时，应力与面力符号相同；当边界的外法线N沿坐标轴负向时，二者符号相反。

3.混合边界条件

弹性体在一部分位移边界S_u上的位移分量为已知，满足位移边界条件式（2.5）；而在另一部分应力边界S_σ上的应力分量为已知，满足应力边界条件式（2.6）。混合边界条件是实际工程问题中常见的边界形式。

弹性力学的基本方程共计15个，即平衡方程3个、几何方程6个、物理方程6个；基本未知量为应力分量6个、应变分量6个、位移分量3个，共计也是15个。基本未知量的数目恰好等于基本方程的数目，在适当的边界条件下，才有可能从基本方程求解这些未知量。

说明一点，应用有限元法分析工程问题时，位移边界条件、混合边界条件均可获得很好的结果；而对完全应力边界条件将无法求解，因为应力边界条件只满足力平衡关系，而对刚体位移没有限制。